線段樹套平衡樹

常見用途

在算法競賽中，我們有時需要維護多維度信息。在這種時候，我們經常需要樹套樹來記錄信息。當需要維護前驅，後繼，第 \(k\) 大，某個數的排名，或者插入刪除的時候，我們通常需要使用平衡樹來滿足我們的需求，即線段樹套平衡樹。

過程

我們以 二逼平衡樹 為例，來解釋實現原理。

關於樹套樹的構建，我們對於外層線段樹正常建樹，對於線段樹上的某一個節點，建立一棵平衡樹，包含該節點所覆蓋的序列。具體操作時我們可以將序列元素一個個插入，每經過一個線段樹節點，就將該元素加入到該節點的平衡樹中。

操作一，求某區間中某值的排名：我們對於外層線段樹正常操作，對於在某區間中的節點的平衡樹，我們返回平衡樹中比該值小的元素個數，合併區間時，我們將小的元素個數求和即可。最後將返回值 \(+1\)，即為某值在某區間中的排名。

操作二，求某區間中排名為 \(k\) 的值：我們可以採用二分策略。因為一個元素可能存在多個，其排名為一區間，且有些元素原序列不存在。所以我們採取和操作一類似的思路，我們用小於該值的元素個數作為參考進行二分，即可得解。

操作三，將某個數替換為另外一個數：我們只要在所有包含某數的平衡樹中刪除某數，然後再插入另外一個數即可。外層依舊正常線段樹操作。

操作四，求某區間中某值的前驅：我們對於外層線段樹正常操作，對於在某區間中的節點的平衡樹，我們返回某值在該平衡樹中的前驅，線段樹的區間結果合併時，我們取最大值即可。

性質

空間複雜度

我們每個元素加入 \(O(\log n)\) 個平衡樹，所以空間複雜度為 \(O((n + q)\log{n})\)。

時間複雜度

對於 1，3，4 操作，我們考慮我們在外層線段樹上進行 \(O(\log{n})\) 次操作，每次操作會在一個內層平衡樹樹上進行 \(O(\log{n})\) 次操作，所以時間複雜度為 \(O(\log^2{n})\)。
對於 2 操作，多一個二分過程，為 \(O(\log^3{n})\)。

經典例題

二逼平衡樹外層線段樹，內層平衡樹。

實現

平衡樹部分代碼請參考 Splay 等其他條目。

操作一：

int vec_rank(int k, int l, int r, int x, int y, int t) {
  if (x <= l && r <= y) {
    return spy[k].chk_rank(t);
  }
  int mid = l + r >> 1;
  int res = 0;
  if (x <= mid) res += vec_rank(k << 1, l, mid, x, y, t);
  if (y > mid) res += vec_rank(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, t);
  if (x <= mid && y > mid) res--;
  return res;
}

操作二：

int el = 0, er = 100000001, emid;
while (el != er) {
  emid = el + er >> 1;
  if (vec_rank(1, 1, n, tl, tr, emid) - 1 < tk)
    el = emid + 1;
  else
    er = emid;
}
printf("%d\n", el - 1);

操作三：

void vec_chg(int k, int l, int r, int loc, int x) {
  int t = spy[k].find(dat[loc]);
  spy[k].dele(t);
  spy[k].insert(x);
  if (l == r) return;
  int mid = l + r >> 1;
  if (loc <= mid) vec_chg(k << 1, l, mid, loc, x);
  if (loc > mid) vec_chg(k << 1 | 1, mid + 1, r, loc, x);
}

操作四：

int vec_front(int k, int l, int r, int x, int y, int t) {
  if (x <= l && r <= y) return spy[k].chk_front(t);
  int mid = l + r >> 1;
  int res = 0;
  if (x <= mid) res = max(res, vec_front(k << 1, l, mid, x, y, t));
  if (y > mid) res = max(res, vec_front(k << 1 | 1, mid + 1, r, x, y, t));
  return res;
}

線段樹套平衡樹

常見用途

過程

性質

空間複雜度

時間複雜度

經典例題

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