跳转至

Jordan標準型

Jordan 分解

設 \(T\) 是 \(n\) 維空間 \(V\) 上的一個線性變換。如果 \(T\) 的最小多項式為：

\[ m_A(\lambda)={(\lambda-\lambda_1)}^{r_1}{(\lambda-\lambda_2)}^{r_2}\cdots{(\lambda-\lambda_k)}^{r_k} \]

那麼由準素分解可知，空間 \(V\) 可以分解為子空間的直和：

\[ V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k \]

其中 \(V_i=N\left({(A-\lambda_i I)}^{r_i}\right)\)，式中 \(A\) 為 \(T\) 對應的矩陣，這些子空間都在 \(T\) 作用下不變。

令變換 \(T_i\) 為 \(V\) 在子空間 \(V_i\) 上的射影，即構造多項式 \(u_i(T)\) 使得：

  • \[ T_i=u_i(T)\frac{m_A(T)}{{(T-\lambda_i T_e)}^{r_i}} \]
  • \[ T_1+T_2+\cdots+T_k=T_e \]

式中 \(T_e\) 表示空間 \(V\) 的恆等變換。於是有性質：

  • 變換 \(T_i\) 在空間 \(V_i\) 上的限制 \({T_i|}_{V_i}\) 為空間 \(V_i\) 的恆等變換。
  • 如果 \(i\) 與 \(j\) 不相等，變換 \(T_i\) 在空間 \(V_j\) 上的限制 \({T_i|}_{V_j}\) 為空間 \(V_j\) 的零變換。

於是變換 \(T_i\) 將空間 \(V\) 的每一個向量 \(\xi\) 映射為它在空間 \(V_i\) 中的分量 \(\xi_i\)。

構造變換：

\[ T_D=\lambda_1 T_1+\lambda_2 T_2+\cdots+\lambda_k T_k \]

由於每一個變換 \(T_i\) 都是變換 \(T\) 的一個多項式，所以變換 \(T_D\) 也是變換 \(T\) 的一個多項式，於是每一個子空間 \(V_i\) 在變換 \(T_D\) 下不變。

由上述等式可知，變換 \(T_D\) 在子空間 \(V_i\) 上的限制 \({T_D|}_{V_i}\) 是子空間 \(V_i\) 的一個位似，位似係數為 \(\lambda_i\)。因此，變換 \(T_D\) 可以對角化。

構造：

\[ T_N=T-T_D \]

於是變換 \(T_N\) 也是變換 \(T\) 的一個多項式，所以每一個子空間 \(V_i\) 在變換 \(T_N\) 下不變。對於子空間 \(V_i\) 中的任意向量 \(\xi_i\)，有：

\[ {T_N}^{r_i}(\xi_i)={T-T_D}^{r_i}(\xi_i)={T-\lambda_i T_i}^{r_i}(\xi_i)=0 \]

令 \(r\) 為全體 \(r_i\) 的最大值，那麼對於空間 \(V\) 中的任意向量 \(\xi\)，變換 \(T_N\) 的 \(r\) 次方將向量 \(\xi\) 映射至零向量。因此變換 \(T_N\) 是一個冪零變換。

這樣，空間 \(V\) 的每一個變換 \(T\) 都可以寫成：

\[ T=T_D+T_N \]

其中 \(T_D\) 可以對角化，而 \(T_N\) 是一個冪零變換。因為 \(T_D\) 和 \(T_N\) 都是變換 \(T\) 的多項式，所以它們的乘積可交換：

\[ T_DT_N=T_NT_D \]

定理：設 \(T_1\) 和 \(T_2\) 是空間 \(V\) 的兩個可對角化變換，且 \(T_1T_2=T_2T_1\)，那麼存在一個基，使得 \(T_1\) 和 \(T_2\) 關於這同一個基的矩陣是對角形式。

定理：設 \(T\) 是 \(n\) 維空間 \(V\) 上的一個線性變換，那麼存在一個可對角化變換 \(T_D\) 和一個冪零變換 \(T_N\)，使得：

  • \[ T=T_D+T_N \]
  • \[ T_DT_N=T_NT_D \]

它們都是變換 \(T\) 的多項式，並且它們由變換 \(T\) 唯一確定。

該定理給出關於變換 \(T\) 的分解，稱為 \(T\) 的若爾當（Jordan）分解，\(T_D\) 叫做 \(T\) 的可對角化部分，\(T_N\) 叫做 \(T\) 的冪零部分。

同樣地，有矩陣的 Jordan 分解：

定理：設 \(A\) 是一個 \(n\) 階矩陣，那麼存在一個可對角化矩陣 \(D\) 和一個冪零矩陣 \(N\)，使得：

  • \[ A=D+N \]
  • \[ DN=ND \]

它們都是矩陣 \(A\) 的多項式，並且它們由矩陣 \(A\) 唯一確定。

該定理給出關於矩陣 \(A\) 的分解，稱為 \(A\) 的若爾當（Jordan）分解，\(D\) 叫做 \(A\) 的可對角化部分，\(N\) 叫做 \(A\) 的冪零部分。

lambda 矩陣

接下來引入的部分是含有變元參量 \(\lambda\) 的更廣義的矩陣，不僅僅是一個數表。這部分討論相較單純由數構成的矩陣而言，更加廣泛一些。

對於 \(\lambda\) 矩陣，對應空間相應的域，變為含有一個變元 \(\lambda\) 的有理式域。

以 \(\lambda\) 的多項式為元素的矩陣稱為 \(\lambda\) 矩陣，記為 \(A(\lambda)\)。

由於多項式域包含數域，數字矩陣是特殊的 \(\lambda\) 矩陣，數字矩陣 \(A\) 的特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 是一種 \(\lambda\) 矩陣。

lambda 矩陣的初等變換

對於 \(\lambda\) 矩陣，同樣可以定義加減法、乘法、初等變換、秩。對於 \(\lambda\) 方陣，同樣可以定義行列式、餘子式、代數餘子式。

對於 \(\lambda\) 矩陣，初等變換與數陣大多相同，僅將倍加變換改為（這裏以行變換為例）：

  • 用 \(\lambda\) 的多項式 \(\varphi(\lambda)\) 乘某行並加到另一行上。

注意倍乘變換不進行修改。這是因為倍加變換不改變行列式，而倍乘變換改變行列式。為了保持多項式域的秩的性質，行列式只能在數域上進行改變。

相應的初等矩陣也一併進行修改。

易見三種初等陣的行列式均為非零常數，因此均為滿秩。所以它們左乘或右乘，不改變 \(\lambda\) 矩陣的秩。

若 \(A(\lambda)\) 經過有限次初等變換變為 \(B(\lambda)\)，則稱 \(A(\lambda)\) 和 \(B(\lambda)\) 等價。

對於 \(\lambda\) 矩陣，如果等價，則秩相同。反之則不然，這與數字矩陣有區別。

Smith 標準型

定理：設 \(\lambda\) 矩陣的秩是 \(r\)，則 \(A(\lambda)\) 一定等價於：

\[ \begin{pmatrix} D(\lambda) & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} \]

其中：

\[ D(\lambda)=\begin{pmatrix} d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_r(\lambda)\\ \end{pmatrix} \]

每一個 \(d_i(\lambda)\) 是一個首 \(1\) 多項式，並且相鄰兩個多項式有整除關係 \(d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda)\)。

稱此標準型為 Smith 標準型，稱 \(d_i(\lambda)\) 為不變因子。

具體求解 Smith 標準型的辦法是，從左上角到右下角進行消元，每次左上角的元素是右下方剩餘的全體多項式的最大公因式，並藉助左上角的元素將該行該列全部消為 \(0\)。

定理：條件 \(A(\lambda)\) 和 \(B(\lambda)\) 等價，等價於條件 \(A(\lambda)\) 和 \(B(\lambda)\) 擁有完全一樣的不變因子。

初等因子

由代數基本定理，設 \(A(\lambda)\) 的不變因子 \(d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_m(\lambda)\) 的分解為：

\[ d_i(\lambda)={(\lambda-\lambda_1)}^{e_{i1}}{(\lambda-\lambda_2)}^{e_{i2}}\cdots{(\lambda-\lambda_S)}^{e_{iS}} \]

其中 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_S\) 互不相同。由於：

\[ d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda) \]

因此指數 \(e_{1j},e_{2j},\cdots,e_{mj}\) 遞增，並且最後一項 \(d_m(\lambda)\) 的各項指數均非零。

上式中指數大於零的全部因子，統稱為 \(A(\lambda)\) 的初等因子。

注意，初等因子計重數。如果對於某個 \(j\)，指數 \(e_{ij}\) 出現了若干次，則對應的初等因子 \({(\lambda-\lambda_j)}^{e_{ij}}\) 也應當出現相應次數。

之前的定理説明，\(A(\lambda)\) 與 \(B(\lambda)\) 等價，等價於他們兩個擁有完全一致的不變因子。不變因子完全相同，自然初等因子也完全相同，但是反之則不然。事實上有結論：

定理：\(A(\lambda)\) 與 \(B(\lambda)\) 不變因子完全相同，等價於初等因子和秩均完全相同。

於是「初等因子和秩均完全相同」也成為判斷 \(\lambda\) 矩陣等價性的條件。

在初等變換的時候，也可以先將 \(A(\lambda)\) 變換為對角陣，再求出初等因子和秩，再求出不變因子得到標準型。有結論：

定理：設 \(A(\lambda)\) 等價於對角陣：

\[ \operatorname{diag}\{f_1(\lambda),f_2(\lambda),\cdots,f_r(\lambda),0,\cdots,0\} \]

那麼有 \(f_1(\lambda),f_2(\lambda),\cdots,f_r(\lambda)\) 的全體一次因子的冪 \({(\lambda-\lambda_j)}^{e_{ij}}\)，構成 \(A(\lambda)\) 的初等因子。

由初等因子和秩構造不變因子的具體方法為：先將初等因子按照因式分類，排成表格，把同類因式進行降冪排列放到同一行，各類因式的最高次冪放到一列，把列數用 \(1\) 補齊至秩 \(r\)，那麼每一列的乘積構成一個不變因子。

在特徵矩陣中的應用

如果 \(A\) 與 \(B\) 是數陣，那麼它們的特徵矩陣是 \(\lambda\) 矩陣。有結論：

定理：條件數陣 \(A\) 與 \(B\) 相似，等價於條件特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 和 \(\lambda I-B\) 等價。

由於特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 只在主對角線含有 \(n\) 個 \(\lambda\)，所以秩為 \(n\)。由上述推理，同型的數陣的特徵矩陣的秩始終相等，於是有等價性：

數陣 \(A\) 與 \(B\) 相似，等價於特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 和 \(\lambda I-B\) 有完全相同的初等因子。

對於特徵矩陣 \(\lambda I-A\)，初等變換保持等價性，所以不改變秩。

觀察三種初等變換，由於唯一被改寫的倍加變換不改變行列式，事實上三種初等變換僅對行列式的結果多項式改變常數倍，因此不改變行列式的結果多項式的因式分解與次數。

因此特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 的行列式為 \(n\) 次多項式，初等變換化為 Smith 標準型後，由於秩為 \(n\)，行列式就是主對角線全體不變因子的乘積，也等於全體初等因子的乘積。因此，特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 的全體初等因子的次數之和等於 \(n\)。

Jordan 標準型

矩陣

\[ \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda\\ \end{pmatrix} \]

主對角線上的元素都是 \(\lambda\)，緊鄰主對角線上方的元素都是 \(1\)，其餘位置都是 \(0\)，叫做屬於 \(\lambda\) 的一個 Jordan 矩陣，或稱 Jordan 塊。

顯然，冪零 Jordan 矩陣是 Jordan 矩陣的特例，即 \(\lambda\) 為 \(0\) 的情形。

定理：設 \(T\) 是 \(n\) 維空間 \(V\) 的一個變換，\(\lambda_1,\cdots,\lambda_k\) 是 \(T\) 的一切互不相同的特徵值，那麼存在一個基，使得 \(T\) 關於這個基的矩陣有形狀：

\[ \begin{pmatrix} B_1 & & & 0\\ & B_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & B_k\\ \end{pmatrix} \]

其中

\[ B_i=\begin{pmatrix} J_{i1} & & & 0\\ & J_{i2} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & J_{is_i}\\ \end{pmatrix} \]

其中 \(J_{i1},\cdots,J_{is_i}\) 都是屬於 \(\lambda_i\) 的 Jordan 塊。

這是因為，首先根據最小多項式：

\[ m_A(\lambda)={(\lambda-\lambda_1)}^{r_1}{(\lambda-\lambda_2)}^{r_2}\cdots{(\lambda-\lambda_k)}^{r_k} \]

有準素分解：

\[ V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k \]

其中：

\[ V_i=N\left({(A-\lambda_i I)}^{r_i}\right) \]

式中 \(A\) 為 \(T\) 對應的矩陣。

令變換 \(S_i\) 為 \(T\) 在 \(V_i\) 上的限制 \({T|}_{V_i}\)，接下來試圖對每一個 \(S_i\) 進行 Jordan 分解。

記 \(T_e\) 為 \(V\) 上的恆等變換。與前文的 Jordan 分解不同，記 \(T_i\) 為 \(S_i\) 的 Jordan 分解中的冪零部分：

\[ S_i=\lambda_i T_e+T_i \]

於是 \(T_i\) 為子空間 \(V_i\) 的一個冪零變換，事實上也是 \(T-\lambda_i T_e\) 在 \(V_i\) 上的限制 \({(T-\lambda_i T_e)|}_{V_i}\)。

子空間 \(V_i\) 可以分解為冪零變換 \(T_i\) 循環子空間的直和：

\[ V_i=W_{i1}\oplus W_{i2}\oplus\cdots\oplus W_{is_i} \]

在每一個循環子空間 \(W_{ij}\) 裏，取一個循環基並倒序排列，湊成 \(V_i\) 的一個基，於是 \(T_i\) 關於這個基的矩陣有形狀：

\[ N_i=\begin{pmatrix} N_{i1} & & & 0\\ & N_{i2} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & N_{is_i}\\ \end{pmatrix} \]

全體 \(N_{ij}\) 均為冪零 Jordan 塊。於是對於 \(V_i\) 上述選取的基，\(S_i\) 對應的矩陣是：

\[ B_i=\begin{pmatrix} \lambda_i & & & 0\\ & \lambda_i & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_i\\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} N_{i1} & & & 0\\ & N_{i2} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & N_{is_i}\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} J_{i1} & & & 0\\ & J_{i2} & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & J_{is_i}\\ \end{pmatrix} \]

這裏 \(J_{i1},J_{i2},\cdots,J_{is_i}\) 都是屬於 \(\lambda_i\) 的 Jordan 塊。

對於每一個子空間 \(V_i\)，按照以上方式選取一個基，湊起來成為 \(V\) 的基，那麼 \(T\) 關於這個基的矩陣即構成定理規定的形式。

形如：

\[ \begin{pmatrix} J_1 & & & 0\\ & J_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & J_m\\ \end{pmatrix} \]

的 \(n\) 階矩陣，其中每一個 \(J_i\) 都是一個 Jordan 塊，叫做一個 Jordan 標準型。

定理：每一個 \(n\) 階矩陣 \(A\) 都與一個 Jordan 標準型相似。除了各個 Jordan 塊排列的次序以外，與 \(A\) 相似的 Jordan 標準型是由 \(A\) 唯一確定的。

注意在上述構造的矩陣 \(B_i\) 中，第一項是一個單位陣的若干倍，自然可以和第二項交換。因此，第一項就是 \(B_i\) 的 Jordan 分解的可對角化部分，第二項就是 \(B_i\) 的 Jordan 分解的冪零部分。

在一個矩陣對應的 Jordan 標準型裏面，主對角線上的元素構成的對角陣是這個矩陣對應的 Jordan 標準型的可對角化部分，把主對角線上的元素換成 \(0\) 就得到這個矩陣對應的 Jordan 標準型的冪零部分。

定理：對於矩陣 \(A\) 的 Jordan 標準型中，每一個 Jordan 塊：

\[ J_i=\begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & & & \\ & \lambda_i & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & 1\\ & & & & \lambda_i\\ \end{pmatrix} \]

對應於特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 的一個初等因子 \({(\lambda-\lambda_i)}^{n_i}\)，特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 的全體初等因子對應於矩陣 \(A\) 的 Jordan 標準型中的全體 Jordan 塊。

這是因為，矩陣 \(A\) 相似於它的 Jordan 標準型，因此兩者的特徵矩陣也等價，將 Jordan 標準型的特徵矩陣化為 Smith 標準型即可看出。

由這個定理，藉助特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 的初等因子，可以寫出矩陣 \(A\) 的 Jordan 標準型。

一個推論是，矩陣 \(A\) 可對角化，等價於特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 的初等因子均為一次的。

弗羅貝尼烏斯（Forbenious）定理

上文指出，\(n\) 階特徵矩陣的 Smith 標準形的秩為 \(n\)。

定理：設矩陣 \(A\) 的特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 的 Smith 標準形為：

\[ \operatorname{diag}\{d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_n(\lambda)\} \]

則最後一個不變因子 \(d_n(\lambda)\) 恰好為矩陣 \(A\) 的最小多項式 \(m_A(\lambda)\)。

推論：矩陣 \(A\) 可對角化的等價條件為：

  • 最小多項式 \(m_A(\lambda)\) 無重根。
  • 特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 的不變因子無重根。
  • 特徵矩陣 \(\lambda I-A\) 的初等因子均為一次的。
本页面最近更新：，更新历史
发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：OI-wiki
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用