複數

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複數

引入

注

下面的引入方法來自人教版高中數學 A 版必修二。

從方程的角度看，負實數能不能開平方，就是方程 \(x^2+a=0 (a>0)\) 有沒有解，進而可以歸結為方程 \(x^2+1=0\) 有沒有解。

回顧已有的數集擴充過程，可以看到，每次擴充都與實際需求密切相關。例如，為了解決正方形對角線的度量，以及 \(x^2-2=0\) 這樣的方程在有理數集中無解的問題，人們把有理數集擴充到了實數集。數集擴充後，在實數集中規定的加法運算、乘法運算，與原來在有理數集中規定的加法運算、乘法運算協調一致，並且加法和乘法都滿足交換律和結合律，乘法對加法滿足分配律。

依照這種思想，為了解決 \(x^2+1=0\) 這樣的方程在實數系中無解的問題，我們設想引入一個新數 \(\mathrm{i}\)，使得 \(x=\mathrm{i}\) 是方程 \(x^2+1=0\) 的解，即使得 \(\mathrm{i}^2=-1\)。

思考：把新引進的數 \(\mathrm{i}\) 添加到實數集中，我們希望數 \(\mathrm{i}\) 和實數之間仍然能像實數那樣進行加法和乘法運算，並希望加法和乘法都滿足交換律、結合律，以及乘法對加法滿足分配律。那麼，實數系經過擴充後，得到的新數系由哪些數組成呢？

依照以上設想，把實數 \(b\) 與 \(\mathrm{i}\) 相乘，結果記作 \(b\mathrm{i}\)；把實數 \(a\) 與 \(b\mathrm{i}\) 相加，結果記作 \(a+b\mathrm{i}\)。注意到所有實數以及 \(\mathrm{i}\) 都可以寫成 \(a+b\mathrm{i}(a,b\in \mathbf{R})\) 的形式，從而這些數都在擴充後的新數集中。

定義

我們定義形如 \(a+b\mathrm{i}\)，其中 \(a,b\in \mathbf{R}\) 的數叫做複數，其中 \(\mathrm{i}\) 被稱為 虛數單位，全體複數的集合叫做 複數集，記作 \(\mathbf{C}\)。

複數通常用 \(z\) 表示，即 \(z=a+b\mathrm{i}\)。這種形式被稱為 複數的代數形式。其中 \(a\) 稱為複數 \(z\) 的實部，記作 \(\operatorname{Re}(z)\)，\(b\) 稱為複數 \(z\) 的虛部，記作 \(\operatorname{Im}(z)\)。如無特殊説明，都有 \(a,b\in \mathbf{R}\)。

對於一個複數 \(z\)，當且僅當 \(b=0\) 時，它是實數，當 \(b\not = 0\) 時，它是虛數，當 \(a=0\) 且 \(b\not = 0\) 時，它是純虛數。

純虛數，虛數，實數，複數的關係如下圖所示。

性質與運算

幾何意義

我們知道了 \(a+b\mathrm{i}\) 這樣類似的形式的數被稱為複數，並且給出了定義和分類，我們還可以挖掘一下更深層的性質。

我們把所有實數都放在了數軸上，並且發現數軸上的點與實數一一對應。我們考慮對複數也這樣處理。

首先我們定義 複數相等：兩個複數 \(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\) 是相等的，當且僅當 \(a=c\) 且 \(b=d\)。

這麼定義是十分自然的，在此不做過多解釋。

也就是説，我們可以用唯一的有序實數對 \((a,b)\) 表示一個複數 \(z=a+b\mathrm{i}\)。這樣，聯想到平面直角座標系，我們可以發現 複數集與平面直角座標系中的點集一一對應。好了，我們找到了複數的一種幾何意義。

那麼這個平面直角座標系就不再一般，因為平面直角座標系中的點具有了特殊意義——表示一個複數，所以我們把這樣的平面直角座標系稱為 複平面，\(x\) 軸稱為實軸，\(y\) 軸稱為虛軸。我們進一步地説：複數集與複平面內所有的點所構成的集合是一一對應的。

我們考慮到學過的平面向量的知識，發現向量的座標表示也是一個有序實數對 \((a,b)\)，顯然，複數 \(z=a+b\mathrm{i}\) 對應複平面內的點 \(Z(a,b)\)，那麼它還對應平面向量 \(\overrightarrow{OZ}=(a,b)\)，於是我們又找到了複數的另一種幾何意義：複數集與複平面內的向量所構成的集合是一一對應的（實數 \(0\) 與零向量對應）。

於是，我們由向量的知識遷移到複數上來，定義 複數的模 就是複數所對應的向量的模。複數 \(z=a+b\mathrm{i}\) 的模 \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)。

於是為了方便，我們常把複數 \(z=a+b\mathrm{i}\) 稱為點 \(Z\) 或向量 \(\overrightarrow {OZ}\)，並規定相等的向量表示同一個複數。

並且由向量的知識我們發現，虛數不可以比較大小（但是實數是可以的）。

加法與減法

對複數 \(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\)，定義加法規則如下：

\[ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\mathrm{i} \]

很明顯，兩個複數的和仍為複數。

考慮到向量的加法運算，我們發現複數的加法運算符合向量的加法運算法則，這同樣證明了複數的幾何意義的正確性。

同樣可以驗證，複數的加法滿足 交換律 和 結合律。即：

\[ \begin{aligned} z_1+z_2&=z_2+z_1\\ (z_1+z_2)+z_3&=z_1+(z_2+z_3) \end{aligned} \]

減法作為加法的逆運算，我們可以通過加法法則與複數相等的定義來推導出減法法則：

\[ z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\mathrm{i} \]

這同樣符合向量的減法運算。

乘法、除法與共軛

對複數 \(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\)，定義乘法規則如下：

\[ \begin{aligned} z_1z_2&=(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})\\ &=ac+bc\mathrm{i}+ad\mathrm{i}+bd\mathrm{i}^2\\ &=(ac-bd)+(bc+ad)\mathrm{i} \end{aligned} \]

可以看出，兩個複數相乘類似於兩個多項式相乘，只需要把 \(\mathrm{i}^2\) 換成 \(-1\)，並將實部與虛部分別合併即可。

複數的乘法與向量的向量積形式類似。

易得複數乘法滿足 交換律，結合律 和 對加法的分配律，即：

\(z_1z_2=z_2z_1\)
\((z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)\)
\(z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3\)

由於滿足運算律，我們可以發現實數域中的 乘法公式在複數域中同樣適用。

除法運算是乘法運算的逆運算，我們可以推導一下：

\[ \begin{aligned} \frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}&=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}\\ &=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm{i} &(c+d\mathrm{i}\not =0) \end{aligned} \]

由於向量沒有除法，這裏不討論與向量的關係。

為了分母實數化，我們乘了一個 \(c-d\mathrm{i}\)，這個式子很有意義。

對複數 \(z=a+b\mathrm{i}\)，稱 \(a-b\mathrm{i}\) 為 \(z\) 的 共軛複數，通常記為 \(\bar z\)。我們可以發現，若兩個複數互為共軛複數，那麼它們 關於實軸對稱。

對複數 \(z,w\)，複數共軛有如下性質

\(z\cdot\bar{z}=|z|^2\)
\(\overline{\overline{z}}=z\)
\(\operatorname{Re}(z)=\dfrac{z+\bar{z}}{2}\)，\(\operatorname{Im}(z)=\dfrac{z-\bar{z}}{2}\)
\(\overline{z\pm w}=\bar{z}\pm\bar{w}\)
\(\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}\)
\(\overline{z/w}=\bar{z}/\bar{w}\)

輻角和輻角主值

如果設定實數單位 \(1\) 作為水平正方向，虛數單位 \(\mathrm{i}\) 作為豎直正方向，得到的就是直角座標視角下的複平面。

表示複數 \(z\) 的位置，也可以藉助於極座標 \((r, \theta)\) 確定。前文已經提到了 \(r\) 為複數 \(z\) 的模。

從實軸正向到非零複數 \(z=x+\mathrm{i}y\) 對應向量的夾角 \(\theta\) 滿足關係：

\[ \tan \theta=\frac{y}{x} \]

稱為複數 \(z\) 的輻角，記為：

\[ \theta= \operatorname{Arg} z \]

任一個非零複數 \(z\) 有無窮多個輻角，故 \(\operatorname{Arg} z\) 事實上是一個集合。藉助開頭小寫的 \(\operatorname{arg} z\) 表示 其中一個特定值，滿足條件：

\[ -\pi<\operatorname{arg} z \le \pi \]

稱 \(\operatorname{arg} z\) 為 輻角主值 或 主輻角。輻角就是輻角主值基礎上加若干整數個（可以為零或負整數）\(2k\pi\)，即 \(\operatorname{Arg} z = \{\operatorname{arg} z + 2k\pi \mid k\in \mathbf Z\}\)。

需要注意的是兩個輻角主值相加後不一定還是輻角主值，而兩個輻角相加一定還是合法的輻角。

稱模小於 \(1\) 的複數，在複平面上構成的圖形為 單位圓。稱模等於 \(1\) 的複數為 單位複數，全體單位複數在複平面上構成的圖形為 單位圓周。在不引起混淆的情況下，有時單位圓周也簡稱單位圓。

在極座標的視角下，複數的乘除法變得很簡單。複數乘法，模相乘，輻角相加。複數除法，模相除，輻角相減。

歐拉公式

歐拉公式（Euler's formula）¹

對任意實數 \(x\)，有

\[ \mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x \]

在補充復指數函數與復三角函數的定義後，該公式可推廣至全體複數。

指數函數與三角函數

對於複數 \(z=x+\mathrm{i}y\)，函數 \(f(z)=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y)\) 滿足 \(f(z_1+z_2)=f(z_1)f(z_2)\)。由此給出 復指數函數 的定義：

\[ \operatorname{exp} z=\mathrm{e}^x(\cos y+\mathrm{i}\sin y) \]

復指數函數在實數集上與實指數函數的定義完全一致。在複平面上擁有性質：

模恆正：\(|\operatorname{exp} z|=\operatorname{exp} x>0\)。
輻角主值：\(\operatorname{arg} \operatorname{exp} z=y\)。
加法定理：\(\operatorname{exp} (z_1+z_2)=\operatorname{exp} (z_1)\operatorname{exp} (z_2)\)。
週期性：\(\operatorname{exp} z\) 是以 \(2\pi \mathrm{i}\) 為基本週期的週期函數。如果一個函數 \(f(z)\) 的週期是某一週期的整倍數，稱該週期為 基本週期。

復三角函數（也簡稱 三角函數）的定義如下：

\[ \cos z=\frac{\operatorname{exp} (\mathrm{i}z)+\operatorname{exp} (-\mathrm{i}z)}{2} \]

\[ \sin z=\frac{\operatorname{exp} (\mathrm{i}z)-\operatorname{exp} (-\mathrm{i}z)}{2\mathrm{i}} \]

若取 \(z\in\mathbf{R}\)，則由歐拉公式有：

\[ \cos z=\operatorname{Re}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}\right) \]

\[ \sin z=\operatorname{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}z}\right) \]

復三角函數在實數集上與實三角函數的定義完全一致。在複平面上擁有性質：

奇偶性：正弦函數是奇函數，餘弦函數是偶函數。
三角恆等式：通常的三角恆等式都成立，例如平方和為 \(1\)，或者角的和差公式等。
週期性：正弦與餘弦函數以 \(2\pi\) 為基本週期。
零點：實正弦與實餘弦函數的全體零點，構成了復正弦與復餘弦函數的全體零點。這個推廣沒有引進新的零點。
模的無界性：復正弦與復餘弦函數，模長可以大於任意給定的正數，不再像實正弦與實餘弦函數一樣被限制在 \(1\) 的範圍內。

複數的三種形式

藉助直角座標系的視角以及極座標系的視角，可以寫出複數的三種形式。

複數的 代數形式 用於表示任意複數。

\[ z=x+y\mathrm{i} \]

代數形式用於計算複數的加減乘除四個運算比較方便。

複數的 三角形式 和 指數形式，用於表示非零複數。

\[ z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta)=r \operatorname{exp} (\mathrm{i}\theta) \]

這兩種形式用於計算複數的乘除兩個運算以及後面的運算較為方便。如果只用高中見過的函數，可以使用三角形式。如果引入了復指數函數，寫成等價的指數形式會更加方便。

單位根

稱 \(x^n=1\) 在複數意義下的解是 \(n\) 次復根。顯然，這樣的解有 \(n\) 個，稱這 \(n\) 個解都是 \(n\) 次 單位根 或 單位復根（the \(n\)-th root of unity）。根據複平面的知識，\(n\) 次單位根把單位圓 \(n\) 等分。

設 \(\omega_n=\operatorname{exp} \frac{2\pi \mathrm{i}}{n}\)（即幅角為 \(2\frac \pi n\) 的單位複數），則 \(x^n=1\) 的解集表示為 \(\{\omega_n^k\mid k=0,1\cdots,n-1\}\)。

如果不加説明，一般敍述的 \(n\) 次單位根，是指從 \(1\) 開始逆時針方向的第一個解，即上述 \(\omega_n\)，其它解均可以用 \(\omega_n\) 的冪表示。

性質

單位根有三個重要的性質。對於任意正整數 \(n\) 和整數 \(k\)：

\[ \begin{aligned} \omega_n^n&=1\\ \omega_n^k&=\omega_{2n}^{2k}\\ \omega_{2n}^{k+n}&=-\omega_{2n}^k\\ \end{aligned} \]

推導留給讀者自證。這三個性質在快速傅里葉變換中會得到應用。

本原單位根

為什麼説，上述 \(n\) 個解都是 \(n\) 次單位根，而平時説的 \(n\) 次單位根一般特指第一個？

特指第一個，是為了在應用時方便。

在解方程的視角看來，滿足 \(\omega_n\) 性質的不止 \(\omega_n\) 一個，對於 \(\omega_n\) 的若干次冪也會滿足性質。

稱集合：

\[ \{\omega_n^k\mid 0\le k<n, \gcd(n,k)=1\} \]

中的元素為 本原單位根。任意一個本原單位根 \(\omega\)，與上述 \(\omega_n\) 具有相同的性質：對於任意的 \(0<k<n\)，\(\omega\) 的 \(k\) 次冪不為 \(1\)。因此，藉助任意一個本原單位根，都可以生成全體單位根。

全體 \(n\) 次本原單位根共有 \(\varphi(n)\) 個。

編程語言中的複數

C 中的複數

在 C99 標準中，有 <complex.h> 頭文件。

在 <complex.h> 頭文件中，提供了 double complex、float complex 和 long double complex 三種類型。

算術運算符'+'、'-'、'*'和'/'，可以用於浮點數和複數的任意混合。當表達式兩端有一個為複數時，計算結果為複數。

頭文件 <complex.h> 提供了虛數單位 I，引入此頭文件時，大寫字母 I 不可以作為變量名使用。

對於單個複數，<complex.h> 提供了若干操作：creal 函數用於提取實部，cimag 函數用於提取虛部，cabs 函數用於計算模，carg 函數用於計算輻角主值。

所有的函數根據類型不同，都有三個。例如 creal 函數有 creal、crealf、creall 三個，用於處理對應的 double、float 和 long double 三種類型。末尾什麼都不帶的默認處理 double 類型。以下所有函數均遵從此規律，不再特別説明。

這些函數返回值都是一般的浮點數。可以將普通浮點數直接賦值給複數，但是不可以將複數直接賦值給浮點數，而是需要使用上述提取操作。

函數 conj 用於計算共軛複數，返回值是複數。

函數 cexp 計算復指數，clog 計算對數主值，csin 計算正弦，ccos 計算餘弦，ctan 計算正切。

函數 cpow 計算冪函數，csqrt 計算平方根，casin 計算反正弦，cacos 計算反餘弦，ctan 計算反正切。這部分函數計算的全部都是多值函數的主值。

C++ 中的複數

在 C 裏面的 <ctype.h>，到 C++ 會變成 <cctype>，幾乎所有的頭文件遵從這個命名規律。

但是，<complex.h> 不遵守，C++ 沒有 <ccomplex> 頭文件。C++ 的複數直接是 <complex>，並且裝的東西和 C 完全不一樣。

很有趣。這是因為，在 C++ 的第一個版本 C++98，即已經有了 <complex>，而 C 語言在 C99 才添加。

在 C++ 中，複數類型定義使用 complex<float>、complex<double> 和 complex<long double>。由於面向對象的多態性，下面函數的名字都是唯一的，無需 f 或 l 的後綴。

一個複數對象擁有成員函數 real 和 imag，可以訪問實部和虛部。

一個複數對象擁有非成員函數 real、imag、abs、arg，返回實部、虛部、模和輻角。

一個複數對象還擁有非成員函數：norm 為模的平方，conj 為共軛複數。

一個複數對象還擁有非成員函數 exp、log（底為 \(\mathrm{e}\) 的對數主值）、log10（底為 10 的對數主值，C 中沒有）、pow、sqrt、sin、cos、tan，含義與 C 中的含義相同。

在 C++14 及以後的版本中，定義了字面量運算符 std::literals::complex_literals::""if, ""i, ""il。例如輸入 100if、100i 和 100il，三者將分別返回 std::complex<float>{0.0f, 100.0f}、std::complex<double>{0.0, 100.0} 以及 std::complex<long double>{0.0l, 100.0l}。這使得我們可以方便地書寫形如 auto z = 4 + 3i 的複數聲明。

參考資料與鏈接

有關歐拉公式的更多介紹，可以參考兩個視頻：歐拉公式與初等羣論、微分方程概論 - 第五章：在 3.14 分鐘內理解 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\)。 ↩

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