弧度制與座標系

角的定義

在小學或初中已經學習過角的 靜態定義：具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。

但是該定義將角度限制在了 \([0, 360^\circ]\)，這給深入研究帶來了一定的困難，還有其他的問題無法解釋清，比如：旋轉 \(720^\circ\) 是什麼意思？

在高中數學，講了角的 動態定義：平面內一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置形成的圖形叫做角。

開始的位置稱為始邊，結束的位置稱為終邊。並規定：

按 逆時針 方向旋轉形成的角叫做正角，其角度為正；
按 順時針 方向旋轉形成的角叫做負角，其角度為負；
終邊相對於始邊沒有做任何旋轉的角叫做零角，其角度為 \(0^\circ\)。

這樣就把角的概念推向了 任意角。

注意

零角始邊和終邊重合，但始邊和終邊重合的角並不都是零角，如以 \(360^\circ\) 為倍數的角。

弧度制

實際應用中經常有角度到各種參數的轉換，而使用弧度制描述角可以減少係數的使用。所以接下來，介紹 弧度制：

把長度等於半徑長的弧所對的圓心角稱為 \(1\) 弧度的角，用符號 \(\text{rad}\) 表示，讀作：弧度。

根據前面的規定，正角的弧度為正，負角的弧度為負，零角的弧度為 \(0\)，如果半徑為 \(r\) 的圓的圓心角 \(\alpha\) 所對弧長為 \(l\)，則：

\[ |\alpha|=\dfrac{l}{r} \]

利用這個公式還可以寫出弧長和扇形面積公式，在此略過。

於是，\(360^\circ\) 角的弧度為 \(2\pi\)，這樣有了對應關係之後就可以進行角度值和弧度制的轉化了：

\[ k \operatorname{rad} = \frac{\pi}{180^\circ} n^\circ \]

考慮一個角，將其終邊再旋轉一週，甚至多周，始邊位置不動，那麼終邊位置永遠是相同的，稱這些角為終邊位置相同的角。

與角 \(\alpha\) 終邊位置相同的角的集合很容易得出，為 \(\{\varphi \mid \varphi = \alpha + 2k\pi, k \in \mathbf{Z}\}\)。

可以理解為：給這個角的邊不停加轉一圈，終邊位置不變。

\(\pi\) 和 \(\tau\) 兩個數學常數

目前西方數學界有一些觀點認為，「真正的圓周率」應為 \(2\pi\)，將這個值記為希臘字母 \(\tau\)。新圓周率的支持者們選擇在 6 月 28 日慶祝「真正的」圓周率日。

比如，在弧度制下，一個周角是 \(2\pi\)，直接對 \(2\pi\) 進行等分可以得到周角的等分。又例如，在複變函數中頻繁出現 \(2\pi\) 的組合，等等。

為了迎合中國各地區約定俗成的習慣，在 OI Wiki，採用參數 \(\pi\) 表示圓周率。

編程中圓周率的習慣寫法

在 C/C++ 語言中，一般取 \(\pi\) 為 acos(-1)，只有這個值是最接近 \(\pi\) 的浮點數。使用 acos(-1) 或者 4 * atan(1) 寫出來的 \(\pi\) 是 \(3.14159265358979310000\)。

採用其他值，例如 acos(-1.0/2.0)，acos(1.0/2.0)，asin(1.0/2.0) 等等，寫出來的 \(\pi\) 是 \(3.14159265358979360000\)，這就不是最接近 \(\pi\) 的浮點數了。

如果你背得下來，也可以直接寫 \(3.1415926535897932\)。

平面直角座標系

在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角座標系（Rectangular Coordinates）。

通常，兩條數軸分別置於水平位置與垂直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做 \(x\) 軸（x-axis）或橫軸，垂直的數軸叫做 \(y\) 軸（y-axis）或縱軸，\(x\) 軸 \(y\) 軸統稱為座標軸，它們的公共原點 \(O\) 稱為平面直角座標系的原點（origin），以點 \(O\) 為原點的平面直角座標系記作平面直角座標系 \(xOy\)。

\(x\) 軸 \(y\) 軸將座標平面分成了四個象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以數軸為界，橫軸、縱軸上的點及原點不在任何一個象限內。一般情況下，\(x\) 軸 \(y\) 軸取相同的單位長度，但在特殊的情況下，也可以取不同的單位長度。

平面直角座標系下位置的描述

在平面直角座標系中，對於平面上的任意一點，都有唯一的一個有序數對（即點的座標（coordinates））與它對應；反過來，對於任意一個有序數對，都有平面上唯一的一點與它對應。

對於平面內任意一點 \(C\)，過點 \(C\) 分別向 \(x\) 軸、\(y\) 軸作垂線，垂足在 \(x\) 軸、\(y\) 軸上的對應點 \(a, b\) 分別叫做點 \(C\) 的橫座標、縱座標，有序數對（ordered pair）\((a, b)\) 叫做點 \(C\) 的直角座標。一個點在不同的象限或座標軸上，其座標都不一樣。

平面極座標系

考慮實際情況，比如航海，説「點 \(B\) 在點 \(A\) 的北偏東 \(30^\circ\) 方向上，距離為 \(100\) 米」，而不是「以 \(A\) 為原點建立平面直角座標系，\(B(50,50\sqrt 3)\)」。

這樣：

在平面上選一定點 \(O\)，稱為極點；
自極點引出一條射線 \(Ox\)，稱為極軸；
選擇一個單位長度（在數學問題中通常為 \(1\)），一個角度單位（通常為弧度）及其正方向（通常為逆時針方向）；

就建立了 極座標系。

極座標系下位置的描述

設 \(A\) 為平面上一點。

極點 \(O\) 與 \(A\) 之間的距離 \(|OA|\) 稱為極徑，記為 \(\rho\)；
以極軸為始邊，\(OA\) 為終邊的角 \(\angle xOA\) 稱為極角，記為 \(\varphi\)；

那麼有序數對 \((\rho,\varphi)\) 即為 \(A\) 的 極座標。

由終邊相同的角的定義可知，\((\rho,\varphi)\) 與 \((\rho,\varphi + 2k\pi)\ (k\in \mathbf{Z})\) 其實表示的是一樣的點。特別地，極點的極座標為 \((0,\varphi)\ (\varphi \in \mathbf{R})\)，於是平面內的點的極座標表示有無數多種。

如果規定 \(\rho \ge 0,0 \le \varphi < 2\pi\)，那麼除極點外，其他平面內的點可以用唯一有序數對 \((\rho,\varphi)\) 表示，而極座標 \((\rho,\varphi)\) 表示的點是唯一確定的。

平面直角座標系與極座標系的相互轉換

當然，有時候研究極座標系下的圖形有些不方便。要想轉到直角座標系下研究，有互化公式。點 \(A(\rho,\varphi)\) 的直角座標 \((x,y)\) 可以如下表示：

\[ \begin{aligned} x &= \rho \cos \varphi \\ y &= \rho \sin \varphi \end{aligned} \]

進而可知：

\[ \begin{aligned} \rho^2 &= x^2 + y^2\\ \tan \varphi &= \frac{y}{x}\ \ \ \ (x\not =0) \end{aligned} \]

於是有 \(\rho = \sqrt{x^2+y^2}\)。

但具有相同 \(\dfrac{y}{x}\) 的 \(\tan\varphi\) 有兩個可能的 \(\varphi\) 的值，此時還需要根據 \(x, y\) 的值來確定方向。具體地，定義函數：

\[ \operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \text{if } x > 0 \\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \text{if } y \ge 0, x < 0 \\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \text{if } y < 0, x < 0 \\ \pi/2 & \text{if } y > 0, x = 0 \\ -\pi/2 & \text{if } y < 0, x = 0 \\ \text{any} & \text{if } y = 0, x = 0 \end{cases} \]

則 \(\varphi = \operatorname{atan2}(y, x)\)。注意上述函數的值域為 \((-\pi, \pi]\)。

在 C/C++ 語言的 <math.h> 或 <cmath> 庫裏定義了該函數，調用 atan2(y, x) 即可。

空間直角座標系

使用如下方法建立空間直角座標系：

在空間內選定一點 \(O\)；
過點 \(O\) 作三條互相垂直的數軸 \(\overrightarrow{Ox}, \overrightarrow{Oy}, \overrightarrow{Oz}\)，分別稱作 \(x\) 軸（橫軸），\(y\) 軸（縱軸），\(z\) 軸（豎軸），統稱為座標軸；它們的正方向符合右手規則，即以右手握住 \(z\) 軸，當右手的四個手指 \(x\) 軸的正向以角度轉向 \(y\) 軸正向時，大拇指的指向就是 \(z\) 軸的正向；
設定各軸上的長度單位，通常都設為 \(1\)。

這樣就構成了一個空間直角座標系，稱為空間直角座標系 \(O-xyz\)。定點 \(O\) 稱為該座標系的原點。

任意兩條座標軸確定一個平面，這樣可確定三個互相垂直的平面，統稱為座標面。其中 \(x\) 軸與 \(y\) 軸所確定的座標面稱為 \(xOy\) 面，類似地有 \(yOz\) 面和 \(zOx\) 面。三個座標面把空間分成八個部分，每一部分稱為一個卦限。

空間直角座標系下位置的描述

取定空間直角座標系 \(O-xyz\) 後，就可以建立空間的點與三元組之間的一一對應關係。

設點 \(M\) 為空間的一點，過點 \(M\) 分別作垂直於 \(x\) 軸、\(y\) 軸和 \(z\) 軸的平面。設三個平面與 \(x\) 軸、\(y\) 軸和 \(z\) 軸的交點依次為 \(P, Q, R\)，點 \(P, Q, R\) 分別稱為點 \(M\) 在 \(x\) 軸、\(y\) 軸和 \(z\) 軸上的投影。又設點 \(P, Q, R\) 在 \(x\) 軸、\(y\) 軸和 \(z\) 軸上的座標依次為 \(x, y, z\)，於是點 \(M\) 確定了一個三元組 \((x, y, z)\)。

反之，如果給定一個三元組 \((x, y, z)\)，可以在 \(x\) 軸上取座標為 \(x\) 的點 \(P\)，在 \(y\) 軸上取座標為 \(y\) 的點 \(Q\)，在 \(z\) 軸上取座標為 \(z\) 的點 \(R\)，然後點 \(P, Q, R\) 分別作垂直於 \(x\) 軸、\(y\) 軸和 \(z\) 軸的三個平面，它們相交於空間的一點 \(M\)，點 \(M\) 就是由三元組 \((x, y, z)\) 所確定的點。

這樣一來，空間的點 \(M\) 與三元組 \((x, y, z)\) 之間就建立了一一對應的關係。把三元組 \((x, y, z)\) 稱為點 \(M\) 的座標，記作 \(M(x, y, z)\)，其中 \(x\) 稱為橫座標、\(y\) 稱為縱座標、\(z\) 稱為豎座標。

空間柱座標系

空間柱座標系，將極座標擴展為三維的方式：從應用於平面工作中的極座標系開始，然後過極點 \(O\) 添加垂直於該平面的 \(z\) 軸，方向朝上。

為了找到由柱座標 \((\rho, \varphi, z)\) 所描述的點，可以首先在極座標系下處理 \(\rho\) 和 \(\varphi\)，然後根據 \(z\) 座標沿着 \(z\) 軸「向上」或「向下」移動。

柱座標系與空間直角座標系的相互轉換

兩座標系下 \(z\) 的值是相同的。

\((x,y)\) 與 \((\rho, \varphi)\) 的相互轉換參見上文平面直角座標系與極座標系的相互轉換。

空間球座標系

球座標可以通過以下方法確定：

站在原點，面向水平極軸的方向；垂直軸的指向是從腳指向頭部；
手臂向上，指向垂直極軸方向；
逆時針旋轉角度 \(\varphi\)；
將手臂向下旋轉角度 \(\vartheta\)，手臂指向 \(\varphi\) 和 \(\vartheta\) 指定的方向；
沿着該方向從原點移位距離 \(r\)。

這樣即可到達球座標 \((r,\vartheta,\varphi)\) 所描述的點。其中 \(\vartheta\) 稱為 天頂角，\(\varphi\) 稱為 方位角。

Warning

由於諸多原因，有的地方使用 \(\phi\) 表示天頂角，用 \(\theta\) 表示方位角。閲讀文章遇到球座標系時請務必注意這一點。

同時，在寫文章時，如果用到了球座標系，建議提前聲明清楚使用什麼符號表示天頂角和方位角。

柱座標系與球座標系的相互轉換

兩座標系下 \(\varphi\) 的值是相同的。

從柱座標系到球座標系：

\[ \begin{aligned} r &= \sqrt{\rho^2 + z^2} \\ \vartheta &= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\rho}{z}\right) & \text{if }z > 0 \\ \pi/2 & \text{if }z = 0, \rho \not= 0 \\ \arctan\left(\frac{\rho}{z}\right) + \pi & \text{if }z < 0 \\ \end{cases} \end{aligned} \]

注意對於柱座標系下的點 \((0,0,0)\)，其球座標的 \(\vartheta\) 不明確。

從球座標系到柱座標系：

\[ \begin{aligned} \rho &= r \sin \vartheta \\ z &= r \cos \vartheta \end{aligned} \]

空間直角座標系與球座標系的相互轉換

可以結合上文平面直角座標系與極座標系的相互轉換和上文柱座標系與球座標系的相互轉換一起使用，或直接使用下面的公式：

從空間直角座標系到球座標系：

\[ \begin{aligned} r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \vartheta &= \arccos\left(\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\right) \\ \varphi &= \operatorname{atan2}(y, x) \end{aligned} \]

其中 \(\operatorname{atan2}\) 的定義見平面直角座標系與極座標系的相互轉換。

注意對於平面直角座標系下的點 \((0,0,0)\)，其球座標的 \(\vartheta\) 和 \(\varphi\) 取值不明確。

從球座標系到空間直角座標系：

\[ \begin{aligned} x &= r \sin \vartheta \cos \varphi \\ y &= r \sin \vartheta \sin \varphi \\ z &= r \cos \vartheta \end{aligned} \]

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