反常遊戲
反常遊戲、反 Nim 遊戲的 定義。
以反 Nim 遊戲為例，這裏給出反 Nim 遊戲的結論以及證明：
規定：字母 N 和 P 分別代表先手必勝與必敗。
一個局面為 N 態的充要條件是有至少一條出邊連接至 P 態。
一個局面為 P 態的充要條件是每一條出邊都連接到 N 態。
反 Nim 遊戲
為方便書寫，用字母 \(T\) 表示 \(\oplus_{i=1}^{n}a_{i}\)。
結論：
-
當全部 \(a_{i}=1\)，如果有奇數堆石子就為 P 態，有偶數堆則為 N 態。
-
當至少一個 \(a_{i}>1\)，\(T\neq 0\) 時為 N 態，否則為 P 態。
證明 1：顯然。
證明 2：
情況 A：若只有一個 \(a_{i}>1\)（此時 \(T\) 一定 \(\neq 0\)），則先手選擇轉移到全部 \(a_{i}=1\) 的局面，並且先手可以在這次決策中控制轉移後堆數的奇偶。
故這種情況 是 N 態。
情況 B：（不考慮 \(T\) 取值）有至少 \(2\) 個 \(a_{i}>1\)。
小情況 B1：\(T\neq 0\)：通過 Nim 遊戲可知一定能夠轉移到 \(T=0\) 的局面（小情況 B2）。
小情況 B2：\(T=0\)：
一方面可以轉移到至少 \(2\) 個 \(a_{i}>1,T\neq 0\) 的局面，即情況 B1。
另一方面隨着遊戲進行（B1, B2 循環），數量大於 1 的堆會逐漸減少，最終只剩一堆，這就變成了情況 A，為 N 態。
觀察情況 B，小情況 B2 能給對面 N 態或至少 \(2\) 個 \(a_{i}>1,T\neq 0\) 的局面，而小情況 B1 僅能給對面 \(T=0\) 的局面。
所以在情況 B 下，小情況 B2 為 N 態，B1 為 P 態。
也就是説 當至少 \(2\) 個 \(a_{i}>1,T\neq 0\) 時為 N 態，否則為 P 態。
綜合情況 A 和情況 B 的結論，結論 2 得證。
綜上，結論 1 和 2 皆得證。結論得證。
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本页面贡献者：2008verser
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