線性代數簡介

提示

本篇與「線性代數」分類下的其他篇目關聯不大。但筆者認為，講講線性代數的本質，追溯概念的根源與聯繫，讓讀者對於線性代數有一個初步但是成體系的認識，確實有其必要性。

早在幾千年前，就有古人應用線性方程組解決問題，而如今，線性代數仍然應用廣泛。

線性代數源於人們的觀察。人們發現，很多對象都擁有相似的性質，比如：

  • 力可以被分解、合成。

  • 對於任意的 \(k,x_0\)，\(k \sin (x-x_0)\) 可以分解成 \(k_1\sin x + k_2\cos x\)。

這些性質與所描述對象的 縮放、分解、疊加 等有關。線性代數把這些性質從具體對象中抽象出來，作為一個獨立的學科來研究。在 OI 中，線性代數的知識可以直接用來解決問題，也可以用於優化算法、數據結構等。例如：

  • 用樹剖維護線性基求鏈上最大異或和

  • 利用矩陣樹定理把圖的生成樹計數問題轉化為求矩陣的行列式

  • 用矩陣快速冪優化遞推

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本页面贡献者：codewasp942
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