初等變換
初等矩陣
以下三類方陣稱為初等矩陣。
倍乘矩陣
倍乘矩陣是一種特殊的對角矩陣。
表示一個對角陣，主對角線上第 \(i\) 個元素為 \(k\)，並且規定 \(k\) 不能為 \(0\)，其餘的元素全部為 \(1\)。
特別地，當 \(k\) 為 \(1\) 的時候，\(D_i(1)\) 就是單位陣 \(I\)。
對換矩陣
對換矩陣是一種特殊的對稱矩陣。
對換矩陣的元素全是 \(1\) 和 \(0\)，主對角線上其餘元素均為 \(1\)，僅有第 \(i\) 個元素和第 \(j\) 個元素為 \(0\)，而在第 \(i\) 行第 \(j\) 列、第 \(j\) 行第 \(i\) 列上的兩個元素為 \(1\)。
對換矩陣要求 \(i\) 與 \(j\) 不能相等。
倍加矩陣
倍加矩陣是在單位陣 \(I\) 的基礎上，令第 \(i\) 行第 \(j\) 列為 \(k\)。
倍加矩陣要求 \(i\) 與 \(j\) 不能相等。如果 \(k\) 為 \(0\)，則 \(T_{ij}(0)\) 退化為單位陣 \(I\)。
倍加矩陣是一種上三角矩陣或者下三角矩陣。
初等矩陣的行列式
三種初等矩陣具有行列式：
由於方陣乘法的行列式等於行列式的乘法，藉助下文初等變換與矩陣乘法的等價性，初等矩陣的這個性質可以用於行列式的計算。
初等變換
不僅限於方陣，對於一般的矩陣 \(A\)，可以進行初等行變換和初等列變換，統稱為初等變換。
初等行變換與初等列變換一樣，都有 3 種：倍乘（multiplication）、對換（switching）、倍加（addition）。這裏先介紹初等行變換：
- 第 \(i\) 行乘非零數 \(k\)：\(B\mapsto D_i(k)B\)。
- 第 \(i\)，\(j\) 行互換：\(B\mapsto P_{ij}B\)。
- 第 \(j\) 行乘 \(k\) 加到第 \(i\) 行：\(B\mapsto T_{ij}(k)B\)。
將上述操作的行改為列，即得到初等列變換。
在初等變換中，對換可以通過倍乘和倍加實現。顯然，倍加不能通過倍乘和對換實現。藉助行列式的知識，以及下文的初等變換與矩陣乘法的等價性，也能説明倍乘不能通過倍加和對換實現。
因此，相較對換而言，倍乘和倍加是更為本質的操作。對換操作是為了在消元法中，保證消元的有序，而引入的輔助操作。
初等變換與矩陣乘法
可以發現，三類初等矩陣都是在單位陣 \(I\) 上進行一次相應的變換得到的結果。在後文的線性變換中指出，線性變換與矩陣之間有對應關係，與這裏的關係類似。
無論矩陣 \(A\) 是否方陣，對矩陣 \(A\) 進行初等行變換，等價於對矩陣 \(A\) 左乘初等矩陣。對矩陣 \(A\) 進行初等列變換，等價於對矩陣 \(A\) 右乘初等矩陣。
倍乘操作
左乘一個倍乘矩陣 \(D_i(k)\)，等價於將第 \(i\) 行變為 \(k\) 倍。右乘一個倍乘矩陣 \(D_i(k)\)，等價於將第 \(i\) 列變為 \(k\) 倍。
對角陣乘對角陣還是對角陣，對於對角陣的乘法，將主對角線上對應的元素相乘。由於單位陣是特殊的倍乘陣，而倍乘陣要求 \(k\) 不為 \(0\)，可以看出，只要對角陣主對角線上的元素均非 \(0\)，就可以拆分為倍乘陣的乘積。
對於一般的對角陣，無論元素是否為 \(0\)，也有相應的結論。左乘對角陣，等價於將對應的行變為原來的若干倍，倍數恰為對角陣主對角線上的相應元素。右乘對角陣，是對相應的列進行同樣操作。
由於倍乘矩陣 \(D_i(k)\) 的行列式為 \(k\)，對於方陣的行或列進行倍乘操作之後，方陣對應的行列式變為原來的 \(k\) 倍。對角陣的行列式為主對角線元素的乘積。
倍乘矩陣的乘法可以交換，對角陣的乘法也可以交換，在乘法只有對角陣時，順序可以任意排列。
單位陣對應的倍乘操作為保持矩陣 \(A\) 不變，在實際應用中不進行這樣的操作。
對換操作
左乘一個對換矩陣 \(P_{ij}\)，等價於將第 \(i\) 行與第 \(j\) 行交換。右乘一個對換矩陣 \(P_{ij}\)，等價於將第 \(i\) 列與第 \(j\) 列交換。
與倍乘陣和對角陣的關係類似，這裏引入置換矩陣的概念。置換矩陣是一個方陣，每行每列均恰有一個 \(1\)，其餘位置均為 \(0\)。單位陣 \(I\) 也是特殊的置換矩陣。
置換陣和對於單位陣 \(I\) 的行進行置換操作一致，也和對於單位陣 \(I\) 的列進行置換操作一致。單位陣 \(I\) 本身對應於恆等變換。
左乘一個置換矩陣等價於對原矩陣的行進行置換，右乘一個置換矩陣等價於對原矩陣的列進行置換，相應置換的方法和對於單位陣 \(I\) 的行或列進行置換操作一致。
置換矩陣與置換完全對應，置換矩陣構成的乘法羣與置換羣同構。由於有定理，在恆等變換視為零個對換的乘積的情形下，任何置換都可以拆為對換的乘積，因此任何置換矩陣也可以拆分為對換矩陣的乘積。
由於對換矩陣的行列式為 \(-1\)，對於方陣的行或列進行對換操作之後，方陣對應的行列式變為原來的 \(-1\) 倍。
對換陣的乘法不可交換，置換陣的乘法也不可交換。
置換矩陣的行列式為 \({(-1)}^p\)，其中 \(p\) 為置換矩陣對應置換的逆序數，即置換拆分為對換乘積的個數。
倍加操作
左乘倍加矩陣 \(T_{ij}(k)\) 等價於把第 \(j\) 行的 \(k\) 倍加到第 \(i\) 行上。右乘倍加矩陣 \(T_{ij}(k)\) 等價於把第 \(i\) 列的 \(k\) 倍加到第 \(j\) 列上。
如果難以記憶，可以觀察倍加陣 \(T_{ij}(k)\) 是對單位陣 \(I\) 進行了怎樣的操作，兩者是對應的，左乘是對行的操作，右乘是對列的操作，符合口訣左行右列。
由於倍加矩陣的行列式為 \(1\)，對於方陣進行倍加操作之後，方陣對應的行列式不變。
倍加矩陣的乘法不可交換。
單位陣對應的倍加操作為保持矩陣 \(A\) 不變，在實際應用中不進行這樣的操作。
上三角矩陣
倍加矩陣是一種上三角矩陣或者下三角矩陣。由於兩種矩陣關於主對角線對稱，這裏討論上三角矩陣。事實上在這個例子中，只需要進行初等行變換，而不需要列變換。
如果一個上三角矩陣的主對角線均為 \(1\)，則可拆分為一連串倍加矩陣的乘積。拆分的順序為，先對單位矩陣 \(I\) 的第一行進行倍加操作，再對單位矩陣 \(I\) 的第二行進行倍加操作，以此類推，直到每一行均被操作完畢為止。
由於倍加矩陣的乘法不可交換，上述操作不可調換順序。
如果一個上三角矩陣的主對角線均非 \(0\)，則可拆分為一連串倍加矩陣和倍乘矩陣的乘積。可以在操作單位矩陣 \(I\) 的每一行時，先將該行進行倍乘操作，效果為主對角線元素變為指定非零值。
如果一個上三角矩陣的主對角線存在 \(0\)，則不可拆分為一連串初等矩陣的乘積。
無論上三角矩陣的主對角線上是否有 \(0\)，上三角矩陣的行列式等於主對角線元素乘積，與對角陣一致。
倍加操作將方陣轉化為對角陣
只使用倍加操作可以使任意一個方陣變為對角陣，這個例子既需要初等行變換也需要初等列變換。
如果方陣的第一行和第一列存在非零元素，則可以通過倍加辦法將左上角元素變為非零，進而藉助初等行變換和初等列變換，將第一行和第一列除了左上角元素以外，均變為 \(0\)。
如果方陣的第一行和第一列已經均為 \(0\)，則直接看第二行和第二列即可。
藉助這個辦法，甚至可以規定對角陣的非零元素均在左上角。
如果方陣的第一行和第一列已經均為 \(0\)，則看剩餘的行列是否有非零元素，只要有非零元素，則可以通過倍加操作將第一行和第一列中某個元素變為非 \(0\)，進而化歸為一開始的情況，使得左上角元素非 \(0\)。
僅當剩餘的行列也均沒有非零元素時，左上角無法變為非零元素，此時剩餘的方陣已經為零矩陣。
標準形矩陣
藉助初等變換可以將任意的矩陣，無論形狀，化歸為標準形矩陣。
標準形矩陣擁有一個單位陣 \(I\) 作為子矩陣位於左上角，其餘部分均為 \(0\)。化歸的辦法與將方陣轉化為對角陣的操作類似，並需要藉助倍乘操作使左上角非零元素變為 \(1\)。
矩陣轉化為標準形矩陣後，含有元素 \(1\) 的個數恰好為矩陣的秩。
可逆矩陣
設 \(A\) 是一個 \(n\) 階矩陣。如果存在一個 \(n\) 階矩陣 \(B\)，使得 \(AB=BA=I\)，那麼 \(A\) 叫做一個可逆矩陣或非奇異矩陣，\(B\) 叫做 \(A\) 的逆矩陣，並記為 \(A^{-1}\)。
如果矩陣 \(A\) 可逆，那麼 \(A\) 的逆矩陣由 \(A\) 唯一確定。
可逆矩陣 \(A\) 的逆 \(A^{-1}\) 也可逆，並且 \(A^{-1}\) 的逆就是 \(A\)。
兩個可逆矩陣 \(A\) 和 \(B\) 的乘積 \(AB\) 也可逆，並且逆為 \(B^{-1}A^{-1}\)。
可逆矩陣 \(A\) 的轉置 \(A^T\) 也可逆，並且轉置的逆等於逆的轉置。
初等矩陣的逆
初等矩陣均可逆，並且逆為同類的初等矩陣：
顯然單位陣 \(I\) 可逆，逆矩陣仍為 \(I\)。
初等變換保持矩陣的可逆性，變換前後矩陣要麼同時可逆，要麼同時不可逆。
矩陣 \(A\) 可逆，當且僅當矩陣 \(A\) 可以寫成初等矩陣的乘積，即可以通過初等變換變為單位陣 \(I\)。
等到引入行列式之後可以知道：
矩陣 \(A\) 可逆，當且僅當矩陣 \(A\) 的秩為 \(n\)，當且僅當矩陣 \(A\) 的行列式非 \(0\)。
一種簡單的記法為：記 \(E_{ij}\) 為第 \(i\) 行第 \(j\) 列的元素為 \(1\)、其餘為零的 \(n\times n\) 矩陣，那麼
- \(D_i(k)=I_n+(k-1)E_{ii}\)
- \(P_{ij}=I_n-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}\)
- \(T_{ij}(k)=I_n+kE_{ij}\)
這種記法也可以應用於它們的逆矩陣。
應用
線性方程組求解
對於一個線性方程組，未知數前的係數構成係數矩陣，如果在係數矩陣右端補上線性方程組的常數項則構成增廣矩陣。
應用初等行變換，可以將線性方程組對應的增廣矩陣先轉化為行階梯形矩陣，再轉化為行最簡形矩陣，進而完成線性方程組的求解。這個方法叫做消元法解線性方程組，後文的 Gauss–Jordan 消元，是按照一定的順序進行的消元算法。
行列式計算
由於方陣乘積的行列式等於方陣行列式的乘積，初等矩陣的行列式便於計算，以及初等變換等價於初等矩陣的乘法，在行列式計算中也會使用初等變換。
由於按照一定的順序進行初等變換更加便於程序書寫，行列式計算也可以使用後文的 Gauss–Jordan 消元算法。
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