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線性映射

研究線性映射是研究線性空間之間的映射。

線性映射可以表示為矩陣的形式，所以在線性映射中矩陣中的大量概念都可以找到對應關係。

線性映射與線性變換

設 \(V\) 和 \(W\) 是域 \(F\) 上的兩個線性空間，\(T\) 是 \(V\) 到 \(W\) 的一個映射。

如果對於 \(W\) 中任意的向量 \(x\) 和 \(y\)，域 \(F\) 中任意的標量 \(k\) 和 \(l\)，有：

\[ T(kx+ly)=kTx+lTy \]

稱 \(T\) 是 \(V\) 到 \(W\) 的一個線性映射。如果 \(W=V\)，則稱 \(T\) 是 \(V\) 上的一個線性變換。

例如，恆等變換 \(T_e\) 保持空間不變，零變換 \(T_0\) 將空間映射至零空間。

可以記 \(L(V,W)\) 為所有 \(V\) 到 \(W\) 的線性映射構成的集合。對於全體線性變換 \(L(V,V)\)，也記為 \(L(V)\)。

性質

  • 線性映射將零向量映射到零向量。
  • 線性映射保持線性運算形式不變，即，線性運算的線性映射，等於線性映射的線性運算。
  • 線性映射保持線性相關性，即，映射前線性相關，映射後也線性相關。

但是線性映射不保持線性無關性。映射前線性無關，映射後不一定線性無關。

線性映射的矩陣表示

設 \(V\) 的維數是 \(n\)，\(V\) 的一組基為 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)，\(W\) 的維數是 \(m\)，\(W\) 的一組基為 \(\beta_1,\cdots,\beta_m\)，\(T\) 是 \(V\) 到 \(W\) 的一個線性映射。

將每個 \(\alpha\) 經由 \(T\) 映射後的向量用 \(\beta\) 表示：

\[ T\alpha_j=a_{1j}\beta_1+\cdots+a_{mj}\beta_n \]

採用矩陣記法：

\[ T(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(T\alpha_1,\cdots,T\alpha_n)=(\beta_1,\cdots,\beta_m)A \]

稱矩陣 \(A\) 為線性映射 \(T\) 在這兩組基下的矩陣表示。

線性映射的核空間與像空間

這裏的核空間與像空間是站在線性映射的視角下敍述的。藉助矩陣表示可以看出，線性映射的核空間與像空間與矩陣的核空間與像空間是一致的。

設 \(T\) 是由空間 \(V\) 到空間 \(W\) 的線性映射，令：

\[ N(T)=\{x\in V|Tx=0\} \]
\[ R(T)=Im(T)=\{y\in W|y=Tx,Vx\in V\} \]

易驗證 \(N(T)\) 為 \(V\) 的子空間，\(R(T)\) 為 \(W\) 的子空間，稱 \(N(T)\) 及 \(R(T)\) 為 \(V\) 的核空間和像空間，並稱 \(N(T)\) 的維數為 \(T\) 的 零度 或 虧，\(R(T)\) 的維數為 \(T\) 的 秩。

定理：設 \(T\) 是由空間 \(V\) 到空間 \(W\) 的線性映射，\(V\) 的維數有限，則 \(N(T)\) 及 \(R(T)\) 均為有限維，且有：

\[ \operatorname{dim} N(T)+\operatorname{dim} R(T)=\operatorname{dim} V \]

即 \(T\) 的虧加秩等於其定義域 \(V\) 的維數。

線性變換的矩陣表示

設 \(V\) 的維數是 \(n\)，\(V\) 的一組基為 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)，\(T\) 是 \(V\) 上的一個線性變換，則有：

\[ T\alpha_j=a_{1j}\alpha_1+\cdots+a_{nj}\alpha_n \]

採用矩陣記法：

\[ T(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=(T\alpha_1,\cdots,T\alpha_n)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)A \]

稱矩陣 \(A\) 為線性變換 \(T\) 在這組基下的矩陣表示。

由空間結構和 \(T\) 的線性性質，\(T\) 由 \(T\alpha_1,\cdots,T\alpha_n\) 完全確定，故由 \(T\) 唯一確定一個矩陣 \(A\)。

定理：設 \(V\) 的維數是 \(n\)，\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 為 \(V\) 的一組基，任取 \(n\) 階方陣 \(A\)，有且僅有一個從 \(V\) 到 \(V\) 的線性變換 \(T\)，使得 \(T\) 的矩陣恰好為 \(A\)。

推論：在 \(L(V,V)\) 和全體 \(n\) 階方陣之間存在一一對應關係。

例如：零變換對應零矩陣，恆等變換對應單位矩陣。

線性變換構成的空間

定理：\(L(V)\) 也可以構成線性空間，引入 \(L(V)\) 中的運算：對於 \(L(V)\) 中任意的 \(T_1\) 與 \(T_2\)，\(V\) 中任意的 \(x\)，域 \(F\) 中任意的 \(k\)，有：

\[ (T_1+T_2)x=T_1x+T_2x \]
\[ (kT_1)x=k(T_1x) \]

容易驗證 \(L(V)\) 是 \(F\) 上的一個線性空間，即線性變換空間。

對於 \(L(V)\) 中的線性變換 \(T_1\) 與 \(T_2\)，定義 \(T_1\) 與 \(T_2\) 的乘積 \(T_1T_2\) 為：

\[ (T_1T_2)x=T_2(T_1x) \]

可以驗證 \((T_1T_2)\) 也是 \(L(V)\) 中的線性變換，並且線性變換的乘積滿足結合律，而不滿足交換律，與矩陣的乘積類似。

對於 \(L(V)\) 中的線性變換 \(T_1\)，如果 \(L(V)\) 中的線性變換 \(T_2\)，使得對於 \(V\) 中任意的向量 \(x\)，有：

\[ (T_1T_2)x=T_1(T_2x)=x \]

則稱 \(T_2\) 是 \(T_1\) 的逆變換，記作：

\[ T_2=T_1^{-1} \]

且有：

\[ T_1T_2=T_2T_1=T_e \]

定理：設 \(V\) 的維數為 \(n\)，\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 為 \(V\) 的一組基，在這組基下線性變換 \(T_1\) 的矩陣為 \(A\)，\(T_2\) 的矩陣為 \(B\)，則：

  • 線性變換 \(T_1+T_2\) 的矩陣為 \(A+B\)
  • 線性變換的數乘 \(kT_1\) 的矩陣為 \(kA\)
  • 線性變換的乘積 \(T_1T_2\) 的矩陣為 \(AB\)
  • 線性變換 \(T_1\) 的逆變換若存在，矩陣為 \(A^{-1}\)

座標

設 \(n\) 個向量 \(x\) 是 \(n\) 維空間 \(V\) 的一個基，對於 \(V\) 中任意的向量 \(y\)，令 \(y\) 為：

\[ y=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} \]

稱列向量：

\[ \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} \]

為向量 \(y\) 在基 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 下的 座標。

可見，座標是由域中的標量構成的列向量，與阿貝爾羣中的向量應當進行區分。

座標變換公式

設 \(V\) 的維數為 \(n\)，\(L(V)\) 中有變換 \(T\)，\(T\) 在基 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 下的矩陣為 \(A\)。設：

\[ \xi=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} \]

且有：

\[ T\xi=T(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix} \]

則有：

\[ T\xi=T(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} \]

空間 \(V\) 中的列向量點本質上都是「基乘座標」的形式。空間 \(V\) 中的列向量點 \(x\)，本身用了單位陣 \(I\) 作為基，即 \(x=Ix\)。

只有同一個基，基不動的時候，單純的線性變換 \(T\)，就是座標左乘普通矩陣。

把線性變換 \(T\) 看成對於空間 \(V\) 的一個觀測濾鏡。線性變換 \(T\) 的作用對象是空間 \(V\)，將空間 \(V\) 扭曲了。加了濾鏡之後，點本身的位置沒有變。

這個定理也説明，對於列向量基的線性變換 \(T\)，等價於對於基右乘一個過渡矩陣。

於是，在不同的基之間，座標關係是左乘過渡矩陣的逆矩陣。

過渡矩陣

設 \(n\) 個向量 \(x\) 與 \(n\) 個向量 \(y\) 是空間 \(V\) 的兩組基。對於 \(1\leq i\leq n\)，令每個向量 \(y_i\) 在基 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 下的座標為：

\[ y_i=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}a_{1i}\\a_{2i}\\\vdots\\a_{ni}\end{pmatrix} \]

於是 \(n\) 個向量 \(y\) 排成等式左邊的矩陣，\(n\) 個座標排成等式右邊的矩陣 \(A\)：

\[ (y_1,y_2,\cdots,y_n)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)A \]

矩陣 \(A\) 稱為由基 \(x_1,x_2\cdots,x_n\) 到基 \(y_1,y_2\cdots,y_n\) 的 過渡矩陣，也稱為變換矩陣。

顯然過渡矩陣可逆。對於上式，由基 \(y_1,y_2\cdots,y_n\) 到基 \(x_1,x_2\cdots,x_n\) 的過渡矩陣為 \(A^{-1}\)。

可見，過渡矩陣是由域中的標量構成的矩陣，並非阿貝爾羣中的向量排成的矩陣，應當予以區分。

設 \(n\) 個向量 \(x\) 與 \(n\) 個向量 \(y\) 是空間 \(V\) 的兩組基。對於空間 \(V\) 中的同一個向量 \(z\)，有：

\[ z=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}=(y_1,y_2\cdots,y_n)\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix} \]

代入上文的

\[ (y_1,y_2\cdots,y_n)=(x_1,x_2\cdots,x_n)A \]

由唯一性，得到：

\[ \begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix} \]

或者

\[ \begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\\\vdots\\\eta_n\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}\xi_1\\\xi_2\\\vdots\\\xi_n\end{pmatrix} \]

這是純粹座標之間的變換，座標變換公式均在標量域中。由於前文做了區分，線性空間與阿貝爾羣中的向量是「抽象的向量」，而座標與過渡矩陣的元素均在標量域中，視為「具體的向量」，兩種向量應當視為「不同的東西」。

矩陣可以對整個空間，即全體座標進行變換，列向量 \(x\) 作為座標遍佈整個空間。

單位矩陣 \(I\) 由單位向量構成。矩陣 \(A\) 會將單位矩陣 \(I\) 變換到矩陣 \(A\) 的每個列向量，即將單位向量變換到矩陣 \(A\) 的每個列向量。因此左乘矩陣 \(A\)，也可以視為將空間做了這樣的變換。

向量左乘矩陣，也可以視為座標左乘向量組。用座標的觀點看待就是：

\[ Iy=Xa \]

同一個列向量 \(y\)，在「正常」的空間，單位矩陣 \(I\) 代表的空間下，座標為 \(y\)，在變換後新的空間裏，座標將記為 \(a\)。這樣一來，矩陣 \(X\) 不僅是正常空間下的一組基，也是從向量組 \(I\) 到向量組 \(X\) 的過渡矩陣。

線性變換 \(T\) 會將一個基映射為另一個基，於是座標也被映射為另一個座標。

如果將基 \(\alpha\) 映射到 \(\beta\) 對應的線性變換 \(T\) 的過渡矩陣是 \(A\)，那麼對應的基矩陣就有 \(\beta=\alpha A\)。

於是座標的關係恰好反過來。假設線性變換 \(T\) 映射後的座標是 \(b\)，即加濾鏡後觀察到座標 \(b\)，於是點在 \(V\) 的表示就是 \(\beta b\)。還原的辦法就是用過渡矩陣，把點在 \(V\) 的表示寫成 \(\alpha Ab\)。於是座標變換為左乘過渡矩陣的逆矩陣的看法就明顯了。

線性變換與矩陣相似

在空間 \(V\) 中的一個線性變換 \(T\) 對於空間 \(V\) 的基 \(\alpha\) 的關係：

線性變換 \(T\) 作用於基 \(\alpha\)，將基 \(\alpha\) 映射到了 \(T(\alpha)\)，相當於在基 \(\alpha\) 右乘一個 \(A\)，即 \(T(\alpha)=\alpha A\)。

矩陣相似考慮的問題是：同一個線性變換 \(T\)，在基 \(\beta\) 的空間 \(V\) 中描述為矩陣 \(B\)，在基 \(\alpha\) 的空間 \(V\) 中描述為矩陣 \(A\)。

如果過渡矩陣為 \(C\)，即 \(\beta=\alpha C\)，那麼兩個描述 \(B\) 和 \(A\) 之間有怎樣的聯繫。

由於是同一個變換 \(T\)，可以發現一個事實，變換前後的過渡矩陣關係始終成立，即：

\[ T(\beta)=T(\alpha)C=\alpha AC \]

線性變換 \(T\) 在基 \(\beta\) 視角下仍舊為右乘，基 \(\beta\) 轉化到基 \(\alpha\) 再右乘一個 \(C\)，變換前後保持過渡矩陣 \(C\) 的關係：

\[ T(\beta)=\beta B=\alpha CB \]

於是問題得到解決：

\[ B=C^{-1}AC \]

定理：設 \(L(V)\) 中有變換 \(T\)，則 \(T\) 在不同基下的矩陣 相似。

對於方陣 \(A\) 和方陣 \(B\)，如果存在可逆矩陣 \(C\) 使得 \(B=C^{-1}AC\)，則 \(A\) 和 \(B\) 相似。

矩陣相似保持秩不變，因此矩陣相似可以推出矩陣等價。但是，等價的兩個矩陣未必相似。

由於矩陣相似與形狀密切相關，因此矩陣相似和向量組等價、方程組同解之間沒有關係。

回過頭來，矩陣相似的解釋就是 4 個等式：\(\beta=\alpha C\)、\(T(\alpha)=\alpha A\)、\(T(\beta)=\beta B\)、\(T(\beta)=T(\alpha)C\)。

參考資料

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