內積和外積

本文介紹向量之間的簡單運算。

在本文之前，特別説明一下翻譯的相關問題。由於歷史原因，數學學科和物理學科關於「inner product」和「outer product」兩個詞彙有着五花八門的翻譯。

在物理學科，一般翻譯成「標積」和「矢積」，表示運算的結果為標量和矢量。高中數學課本上「數量積」和「向量積」也採用了這種意譯的辦法。

在數學學科，通常也可以翻譯成「內積」和「外積」，是兩個名詞的直譯。「點乘」和「叉乘」是根據運算符號得來的俗稱，這種俗稱也很常見。

在「點乘」運算中，經常省略運算的點符號，在線性代數中更是會直接看作矩陣乘法，不寫點符號。

內積

內積的概念 對於任意維數的向量都適用。

已知兩個向量 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\)，它們的夾角為 \(\theta\)，那麼：

\[ \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos \theta \]

就是這兩個向量的內積，也叫點積或 數量積。其中稱 \(|\boldsymbol a|\cos \theta\) 為 \(\boldsymbol a\) 在 \(\boldsymbol b\) 方向上的投影。內積的幾何意義即為：內積 \(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b\) 等於 \(\boldsymbol a\) 的模與 \(\boldsymbol b\) 在 \(\boldsymbol a\) 方向上的投影的乘積。

可以發現，這種運算得到的結果是一個標量，並不屬於向量的線性運算。

在不引起混淆的情況下，內積的點號可以省略不寫。如果在向量的右上角有上角標 \(2\)，表示向量與自身內積的簡寫，即 向量模長的平方，省略模長記號。該上角標 \(2\) 不可以理解為向量的平方，這是因為，向量內積的結果為標量，不存在除了 \(2\) 以外任何個數的向量的內積。同理，向量模長平方的平方，不可以簡寫為上角標 \(4\)，而是必須將上角標 \(2\) 的結果視為一個整體，以此類推。

內積滿足交換律，即：

\[ \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=\boldsymbol b \cdot \boldsymbol a \]

互相垂直的兩個向量的內積，結果為 \(0\)。向量與零向量內積，結果為 \(0\)。

內積運算有以下應用：

判定兩向量垂直

\(\boldsymbol a \perp \boldsymbol b\) \(\iff\) \(\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=0\)

判定兩向量共線

\(\boldsymbol a = \lambda \boldsymbol b\) \(\iff\) \(|\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\)

數量積的座標運算

若 \(\boldsymbol a=(m,n),\boldsymbol b=(p,q),\) 則 \(\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=mp+nq\)

向量的模

\(|\boldsymbol a|=\sqrt {m^2+n^2}\)

兩向量的夾角

\(\cos \theta=\cfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}\)

二階與三階行列式

二階與三階行列式，可以作為行列式的較為簡單的情形特殊定義。在微積分的最後一個部分場論部分，格林公式用到了二階行列式，高斯公式用到了點乘，斯托克斯公式用到了三階行列式。

二階行列式可以視為四元函數，其定義為：

\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc \]

三階行列式可以視為九元函數，其定義為：

\[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}=aei+dhc+gbf-ahf-dbi-gec \]

一種特殊的記憶方法是採用「對角線法則」，對角線法則只適用於二階與三階行列式。

特別注意：四階行列式展開後共有 24 項，並且副對角線一項的符號為正。如果強行應用三階行列式的「對角線法則」，不僅項數不夠，副對角線一項的符號也不正確，因此三階行列式的「對角線法則」不適用於更高階的行列式，更高階的行列式也不適合使用直接展開法計算。

外積

外積是 三維向量特有的運算。

在物理學中，三維向量為默認與空間位置相關的向量，一律採用粗體表示。然而，物理學中與相對論相關的四維向量不會採用粗體，而是使用特殊的記號與下標。

在線性代數中，所有的向量都會用粗體表示，並且由於麻煩，並且線性代數中大多為向量與矩陣的運算，很難造成歧義，在手寫時可以省略向量記號不寫。

定義向量 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\) 的外積為一個向量，記為 \(\boldsymbol a\times \boldsymbol b\)，其模與方向定義如下：

\(|\boldsymbol a\times \boldsymbol b|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle\)；
\(\boldsymbol a\times \boldsymbol b\) 與 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\) 都垂直，且 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol a\times \boldsymbol b\) 符合右手法則。

注意到外積的模，聯想到三角形面積計算公式 \(S=\frac{1}{2}ab\sin C\)，可以發現外積的幾何意義是：\(|\boldsymbol a\times \boldsymbol b|\) 是以 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\) 為鄰邊的平行四邊形的面積。

兩個向量 \(a=(x_1,y_1,z_1)\)，\(b=(x_2,y_2,z_2)\) 外積的結果是一個向量 \(c\)。記作 \(c = a \times b\)。

向量的外積可以使用三階行列式表示：

\[ \begin{vmatrix} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} \]

其中 \(i, j, k\) 表示和座標軸 \(x, y, z\) 平行的單位向量，並寫在對應座標處。展開得 \(c = (y_1z_2-y_2z_1,x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)\)。

對於二維向量，無法計算外積，但是仍然可以計算兩向量張成的平行四邊形面積：

記 \(\boldsymbol a=(m,n),\boldsymbol b=(p,q)\)，將平面直角座標系擴充為空間直角座標系，原平面位於新座標系的 xOy 平面，原本的座標 \((m,n)\) 和 \((p,q)\) 變為 \((m,n,0)\) 和 \((p,q,0)\)，那麼兩個向量的外積為 \((0,0,mq-np)\)，因此平行四邊形面積為 \(mq-np\)，可以視為二階行列式運算的結果。此時，根據右手法則和豎座標符號，可以推斷出 \(\boldsymbol b\) 相對於 \(\boldsymbol a\) 的方向，若在逆時針方向豎座標為正值，反之為負值，簡記為 順負逆正。

外積滿足 反交換律，即：

\[ \boldsymbol a \times \boldsymbol b=-\boldsymbol b \times \boldsymbol a \]

共線的兩個三維向量的外積，結果為 \(0\)。三維向量與自身外積，結果為 \(0\)。三維向量與零向量外積，結果為 \(0\)。

根據上文的兩個定義：

\[ |\boldsymbol a\times \boldsymbol b|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle \]

\[ \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos \theta \]

可以寫出恆等式：

\[ {(\boldsymbol a\times \boldsymbol b)}^2={\boldsymbol a}^2{\boldsymbol b}^2-{(\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b)}^2 \]

混合積

與外積一樣，向量的混合積是 三維向量特有的運算。

設 \(a, b, c\) 是空間中三個向量，則 \((a\times b)c\) 稱為三個向量 \(a, b, c\) 的混合積，記作 \([a b c]\) 或 \((a,b,c)\) 或 \((abc)\)。混合積的絕對值 \(|(a\times b)c|\) 的幾何意義表示以 \(a, b, c\) 為稜的平行六面體的體積。

向量的混合積可以使用三階行列式表示：

\[ (a,b,c)=(a\times b)c=\begin{vmatrix} a_x & b_x & c_x \\ a_y & b_y & c_y \\ a_z & b_z & c_z \end{vmatrix}=a_xb_yc_z+a_yb_zc_x+a_zb_xc_y-a_zb_yc_x-a_yb_xc_z-a_xb_zc_y \]

向量的混合積可以用來計算四面體的體積：

\[ V=\frac{1}{6}|[AB AC AD]| \]

混合積 \((a,b,c)\) 的符號是正還是負，取決於 \(a×b\) 與 \(c\) 形成的夾角是鋭角還是鈍角，即指向 \(a\) 與 \(b\) 張成平面的同側還是異側，這相當於 \(a\)、\(b\)、\(c\) 三個向量依序構成右手系還是左手系。

有定理：三個三維向量 \(a\)、\(b\)、\(c\) 共面的充分必要條件是 \((a,b,c)=0\)。

混合積有性質：

\[ (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)=-(b,a,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a) \]

\[ (a\times b)c=a(b\times c) \]

二重外積

三維向量的混合積是內積與外積的混搭，具有輪換對稱性。三維向量和三維向量的外積還是三維向量，那麼外積的外積是否存在相關結論？

先證明一個引理。

\[ (a\times b)\times a=(a^2)b-(ab)a \]

證明：由右手定則，\(a\times b\) 與 \(a\) 和 \(b\) 都垂直，待證等式左端與 \(a\times b\) 垂直，因此待證等式左端與 \(a\) 和 \(b\) 共面。

因此可以假設：

\[ (a\times b)\times a=\lambda a+\mu b \]

根據混合積的相關結論，上式兩端同時對於 \(a\) 和 \(b\) 分別做內積，有：

\[ \lambda a^2+\mu (ab)=0 \]

\[ \lambda (ab)+\mu b^2=(b,a\times b,a)={(a\times b)}^2 \]

由前文推出的恆等式：

\[ {(a\times b)}^2=a^2b^2-{(ab)}^2 \]

可以解得：

\[ \lambda=-ab \]

\[ \mu=a^2 \]

證畢。

在上文的證明中提到，\(a\times b\) 與任意向量叉乘，得到的向量與 \(a\) 和 \(b\) 共面。接下來證明 二重外積 的結論：

\[ (a\times b)\times c=(ac)b-(bc)a \]

上述共面性有助於二重外積結論的記憶。可見，上文的引理為二重外積的特殊情況。

證明：這裏只需考慮三個向量均為非零且不共線的情況，其他特例為顯然的。

三維向量 \(a\)、\(b\) 和 \(a\times b\) 不共面，因此可以假設：

\[ c=\alpha a+\beta b+\gamma(a\times b) \]

所以有：

\[ (a\times b)\times c=(a\times b)\times(\alpha a+\beta b+\gamma(a\times b))=\alpha(a\times b)\times a+\beta(a\times b)\times b \]

根據上文的引理有：

\[ (a\times b)\times a=(a^2)b-(ab)a \]

\[ (a\times b)\times b=-(b\times a)\times b=-(b^2)a+(ab)b \]

因此有：

\[ (a\times b)\times c=\alpha((a^2)b-(ab)a)+\beta((ab)b-(b^2)a)=(\alpha(-ab)+\beta(-b^2))a+(\alpha a^2+\beta ab)b=(ac)b-(bc)a \]

證畢。

根據外積的反交換性，可以得到二重外積的兩個公式：

\[ (a\times b)\times c=(ac)b-(bc)a \]

\[ a\times(b\times c)=(ac)b-(ab)c \]

可見，二重外積對於運算順序有着嚴格的要求。

藉助混合積與二重外積，還可以證明拉格朗日的恆等式。

\[ (a\times b)(c\times d)=(ac)(bd)-(ad)(bc) \]

證明：

\[ (a\times b)(c\times d)=(c,d,a\times b)=(a\times b,c,d)=((a\times b)\times c)d=(b(ac)-a(bc))d=(ac)(bd)-(ad)(bc) \]

可見，前文的恆等式

\[ {(a\times b)}^2=a^2b^2-{(ab)}^2 \]

是拉格朗日的恆等式的特殊情形。

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