向量
在本文之前，特別説明一下翻譯的相關問題。由於歷史原因，數學學科和物理學科關於「vector」一詞的翻譯不同。
在物理學科，一般翻譯成「矢量」，並且與「標量」一詞相對。在數學學科，一般翻譯成「向量」。這種翻譯的差別還有「本徵」與「特徵」、「幺正」與「酉」，等等。
在 OI Wiki，主要面向計算機等工程類相關學科，與數學學科關係更近一些，因此採用「向量」這個詞彙。
定義及相關概念
向量：既有大小又有方向的量稱為向量。數學上研究的向量為 自由向量，即只要不改變它的大小和方向，起點和終點可以任意平行移動的向量。記作 \(\vec a\) 或 \(\boldsymbol{a}\)。
有向線段：帶有方向的線段稱為有向線段。有向線段有三要素：起點，方向，長度，知道了三要素，終點就唯一確定。一般使用有向線段表示向量。
向量的模：有向線段 \(\overrightarrow{AB}\) 的長度稱為向量的模，即為這個向量的大小。記為：\(|\overrightarrow{AB}|\) 或 \(|\boldsymbol{a}|\)。
零向量：模為 \(0\) 的向量。零向量的方向任意。記為：\(\vec 0\) 或 \(\boldsymbol{0}\)。
單位向量：模為 \(1\) 的向量稱為該方向上的單位向量。一般記為 \(\vec e\) 或 \(\boldsymbol{e}\)。
平行向量：方向相同或相反的兩個 非零 向量。記作：\(\boldsymbol a\parallel \boldsymbol b\)。對於多個互相平行的向量，可以任作一條直線與這些向量平行，那麼任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量又叫 共線向量。
相等向量：模相等且方向相同的向量。
相反向量：模相等且方向相反的向量。
向量的夾角：已知兩個非零向量 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\)，作 \(\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b\)，那麼 \(\theta=\angle AOB\) 就是向量 \(\boldsymbol a\) 與向量 \(\boldsymbol b\) 的夾角。記作：\(\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle\)。顯然當 \(\theta=0\) 時兩向量同向，\(\theta=\pi\) 時兩向量反向，\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 時兩向量垂直，記作 \(\boldsymbol a\perp \boldsymbol b\)，並且規定 \(\theta \in [0,\pi]\)。
注意到平面向量具有方向性，兩個向量不能比較大小（但可以比較兩向量的模長）。但是兩個向量可以相等。
向量的線性運算
向量的加減法
在定義了一種量之後，就希望讓它具有運算。向量的運算可以類比數的運算，從物理學的角度出發也可以研究向量的運算。
類比物理學中的位移概念，假如一個人從 \(A\) 經 \(B\) 走到 \(C\)，那麼他經過的位移為 \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)，這其實等價於這個人直接從 \(A\) 走到 \(C\)，即 \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。
注意到力的合成法則——平行四邊形法則，同樣也可以看做一些向量相加。
整理一下向量的加法法則：
- 向量加法的三角形法則：若要求和的向量首尾順次相連，那麼這些向量的和為第一個向量的起點指向最後一個向量的終點；
- 向量加法的平行四邊形法則：若要求和的兩個向量 共起點，那麼它們的和向量為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的對角線，起點為兩個向量共有的起點，方向沿平行四邊形對角線方向。
這樣，向量的加法就具有了幾何意義。並且可以驗證，向量的加法滿足 交換律與結合律。
因為實數的減法可以寫成加上相反數的形式，考慮在向量做減法時也這麼寫。即：\(\boldsymbol a-\boldsymbol b=\boldsymbol a+(-\boldsymbol b)\)。
這樣，考慮共起點的向量，按照平行四邊形法則做出它們的差，經過平移後可以發現 「共起點向量的差向量」是由「減向量」指向「被減向量」的有向線段。這也是向量減法的幾何意義。
有時候有兩點 \(A,B\)，想知道 \(\overrightarrow{AB}\)，可以利用減法運算 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\) 獲得。
向量的數乘
規定「實數 \(\lambda\) 與向量 \(\boldsymbol a\) 的積」為一個向量，這種運算就是向量的 數乘運算，記作 \(\lambda \boldsymbol a\)，它的長度與方向規定如下：
- \(|\lambda \boldsymbol a|=|\lambda||\boldsymbol a|\)；
- 當 \(\lambda >0\) 時，\(\lambda\boldsymbol a\) 與 \(\boldsymbol a\) 同向，當 \(\lambda =0\) 時，\(\lambda \boldsymbol a=\boldsymbol 0\)，當 \(\lambda<0\) 時，\(\lambda \boldsymbol a\) 與 \(\boldsymbol a\) 方向相反。
根據數乘的定義，可以驗證有如下運算律：
特別地：
判定兩向量共線
兩個 非零 向量 \(\boldsymbol a\) 與 \(\boldsymbol b\) 共線 \(\iff\) 有唯一實數 \(\lambda\)，使得 \(\boldsymbol b=\lambda \boldsymbol a\)。
證明：由數乘的定義可知，對於 非零 向量 \(\boldsymbol a\)，如果存在實數 \(\lambda\)，使得 \(\boldsymbol b=\lambda \boldsymbol a\)，那麼 \(\boldsymbol a \parallel \boldsymbol b\)。
反過來，如果 \(\boldsymbol a\parallel \boldsymbol b\)，\(\boldsymbol a \not = \boldsymbol 0\)，且 \(|\boldsymbol b|=\mu |\boldsymbol a|\)，那麼當 \(\boldsymbol a\) 與 \(\boldsymbol b\) 同向時，\(\boldsymbol b=\mu \boldsymbol a\)，反向時 \(\boldsymbol b=-\mu \boldsymbol a\)。
最後，向量的加，減，數乘統稱為向量的線性運算。
平面向量的基本定理及座標表示
平面向量基本定理
定理內容：如果兩個向量 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}\) 不共線，那麼存在唯一實數對 \((x,y)\)，使得與 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}\) 共面的任意向量 \(\boldsymbol p\) 滿足 \(\mathbf p=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}\)。
平面向量那麼多，怎樣用盡可能少的量表示出所有平面向量？
只用一個向量表示出所有向量顯然是不可能的，最多隻能表示出某條直線上的向量。
再加入一個向量，用兩個 不共線 向量表示（兩個共線向量在此可以看成同一個向量），這樣可以把任意一個平面向量分解到這兩個向量的方向上了。
在同一平面內的兩個不共線的向量稱為 基底。如果基底相互垂直，那麼在分解的時候就是對向量 正交分解。
平面向量的座標表示
如果取與橫軸與縱軸方向相同的單位向量 \(i,j\) 作為一組基底，根據平面向量基本定理，平面上的所有向量與有序實數對 \((x,y)\) 一一對應。
而有序實數對 \((x,y)\) 與平面直角座標系上的點一一對應，於是作 \(\overrightarrow{OP}=\boldsymbol p\)，那麼終點 \(P(x,y)\) 也是唯一確定的。由於研究的對象是自由向量，可以自由平移起點，這樣，在平面直角座標系裏，每一個向量都可以用有序實數對唯一表示。
平面向量的座標運算
平面向量線性運算
由平面向量的線性運算可以推導其座標運算，主要方法是將座標全部化為用基底表示，然後利用運算律進行合併，之後表示出運算結果的座標形式。
若兩向量 \(\boldsymbol a=(m,n)\)，\(\boldsymbol b=(p,q)\)，則：
求一個向量的座標表示
已知兩點 \(A(a,b),B(c,d)\)，易證 \(\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)\)。
平移一點
有時需要將一個點 \(P\) 沿一定方向平移某單位長度，這樣把要平移的方向和距離組合成一個向量，利用向量加法的三角形法則，將 \(\overrightarrow{OP}\) 加上這個向量，得到的向量終點即為平移後的點。
三點共線的判定
若 \(A,B,C\) 三點共線，則 \(\overrightarrow{OB}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}\)。
三點共線判定的拓展
在三角形 \(ABC\) 中，若 \(D\) 為 \(BC\) 的 \(n\) 等分點（\(n\ BD=k\ DC\)），則有：\(\overrightarrow{AD}=\frac{n}{k+n}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k+n}\overrightarrow{AC}\)
在三維空間中的拓展（立體幾何/空間向量）
在空間中，以上部分所述的所有內容均成立。更有：
空間向量基本定理
定理內容：如果兩個向量 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\boldsymbol{e_3}\) 不共面，那麼存在唯一實數對 \((x,y,z)\)，使得空間中任意向量 \(\boldsymbol p\) 滿足 \(\mathbf p=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}+z\boldsymbol{e_3}\)。 根據空間向量基本定理，我們同樣可以使用三個相互垂直的基底 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\boldsymbol{e_3}\) 作為正交基底，建立 空間直角座標系 並用一個三元組 \((x,y,z)\) 作為座標表示空間向量。
共面向量基本定理
如果存在兩個不共線的向量 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\), 則向量 \(\boldsymbol{p}\) 與 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\) 共面的充要條件是存在唯一實數對 \((a,b)\) 使得 \(\boldsymbol{p}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{y}\)。
法向量
對於一個面 \(ABCD\)，其法向量 \(\boldsymbol{n}\) 與這個面垂直。
計算方法：任取兩個面內直線 \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\)，使得 \(\overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{0}\) 且 \(\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{0}\)，利用座標法即可計算。
擴展
向量與矩陣
矩陣運算的相關法則與向量運算相似，於是考慮將向量寫成矩陣形式，這樣就將向量問題化為矩陣問題了。詳細內容請參考線性代數。
向量旋轉
設 \(\boldsymbol a=(x,y)\)，傾角為 \(\theta\)，長度為 \(l=\sqrt{x^2+y^2}\)。則 \(x=l\cos \theta,y=l\sin\theta\)。令其逆時針旋轉 \(\alpha\) 度角，得到向量 \(\boldsymbol b=(l\cos(\theta+\alpha),l\sin(\theta+\alpha))\)。
由三角恆等變換得，
化簡，
把上面的 \(x,y\) 代回來得
即使不知道三角恆等變換，這個式子也很容易記下來。
向量的更嚴格定義
上文中，向量被定義為了空間中的有向線段。但是嚴格來説，向量不僅是有向線段。要作出向量的更嚴格定義，需要先定義 線性空間，具體內容參見 線性空間 頁面的介紹。
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