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線性空間

前置知識：阿貝爾羣、域。

通俗地講，一個集合關於某運算封閉，滿足結合律、單位元與逆元則構成羣。如果還滿足交換律，則構成阿貝爾羣。

如果一個集合關於四則運算封閉，則構成域。相關定義詳見 羣論簡介。

定義

線性空間（向量空間）是線性代數的基本概念與重要研究對象。線性空間是由向量集合 \(V\)、域 \(\Bbb{P}\)、加法運算 \(+\) 和標量乘法（數乘）組成的模類代數結構。

具體來説，設 \((V,+)\) 是一個阿貝爾羣，\(\Bbb{P}\) 是一個域。

定義 \(\Bbb{P}\) 中的數與 \(V\) 中元素的一種代數運算，稱為 數乘：\(\cdot:\Bbb{P}\times V\mapsto V\)，記為 \(p\cdot v\) 或 \(pv\)，其中 \(p\) 在域 \(\Bbb{P}\) 中，\(v\) 在阿貝爾羣 \(V\) 中。要求該數乘運算是封閉的，運算結果始終有意義，也在羣 \(V\) 中。

且滿足以下條件：

  1. 數乘對向量加法分配律：對於 \(\mathbf u,\mathbf v\in V,a\in \Bbb{P}\)，\(a(\mathbf u+\mathbf v)=a\mathbf u+a\mathbf v\)
  2. 數乘對標量加法分配律：對於 \(a,b\in \Bbb{P},\mathbf u\in V\)，\((a+b)\mathbf u=a\mathbf u+b\mathbf u\)
  3. 數乘結合律（一致於域乘法）：對於 \(a,b\in \Bbb{P},\mathbf u\in V\)，\(a(b\mathbf u)=(ab)\mathbf u\)
  4. 標量乘法單位元：令 \(1\in \Bbb{P}\) 是 \(\Bbb{P}\) 的乘法單位元，則對於 \(u\in V\)，\(1\mathbf u=\mathbf u\)

則稱代數系統 \((V,+,\cdot,\mathbb{P})\) 是 \(V\) 關於 \(+,\cdot\) 構成 \(\Bbb{P}\) 上的一個 線性空間，\(\Bbb{P}\) 為線性空間的 基域，\(V\) 中元素稱為 向量，\(\Bbb{P}\) 中元素稱為 標量。當域 \(\Bbb{P}\) 為實數域時，稱為實線性空間。當域 \(\Bbb{P}\) 為複數域時，稱為複線性空間。

不管是一列數還是箭頭，或是別的什麼東西，只要滿足上述公理，都可以認為是向量，也就都可以利用線性代數的理論來研究。

稱加法羣中的零元為零向量，記作 \(\mathbf 0\) 或 \(\mathbf\theta\)。

原阿貝爾羣中向量的加減法，與線性空間新定義的數乘，統稱為 線性運算。

Note

為行文方便，下文中：

  1. 對 \(V\) 中的元素不做加粗處理。
  2. 將滿足線性空間定義的代數系統 \((V,+,\cdot,\mathbb{P})\) 也稱為線性空間。

請注意區分。

直觀理解

不是很嚴謹地説，標量乘法對應着一種「縮放」，基域 \(\Bbb{P}\) 中的元素就代表着縮放的「比例」，向量加法對應「疊加」。同時，\(\Bbb{P}\) 中的元素還代表着向量的「座標」的取值範圍。

條件 1-4 描述的是「縮放」與「疊加」的關聯。可以結合二維平面上的箭頭來理解。

簡單性質

Note

以下性質可在羣論等中找到。

對線性空間 \((V,+,\cdot,\Bbb{P})\),

  1. \(\theta\) 唯一
  2. \(\forall\alpha\in V\),\(-\alpha\) 唯一
  3. \(\exists 0\in\mathbb{P}\),\(\forall\alpha\in V\), 有 \(0\alpha=\theta\)
  4. \(\forall k\in\mathbb{P}\), 有 \(k\theta=\theta\)
  5. \((-1)\alpha=-\alpha,~\forall\alpha\in V\)
  6. 無零因子：\(\forall\alpha\in V,k\in\mathbb{P}\), 有 \(k\alpha=\theta\implies k=0\lor\alpha=\theta\)

  7. 加法的消去律：\(\forall\alpha,\beta,\gamma\in V\), 有 \(\alpha+\beta=\alpha+\gamma\implies\beta=\gamma\)

    實際上，加法的消去律是阿貝爾羣的性質。

例子

  1. \(\Bbb{P}^n\) 關於數域 \(\Bbb{P}\) 上的加法和乘法構成 \(\Bbb{P}\) 上的一個線性空間。例如 \(\Bbb{P}\) 可以是 \(\Bbb{R}\),\(\Bbb{C}\),\(\Bbb{N}_p\)（\(p\) 為素數）等。
  2. 數域 \(\Bbb{P}\) 上的 \(n\times m\) 階矩陣 \(\Bbb{P}^{n\times m}\) 關於矩陣的加法和數乘構成 \(\Bbb{P}\) 上的一個線性空間。
  3. 數域 \(\Bbb{P}\) 上的一元多項式環 \(\Bbb{P}[x]\) 關於多項式的加法和數乘構成 \(\Bbb{P}\) 上的一個線性空間。
  4. 區間 \([a,b]\) 上的全體連續函數（記作 \(C[a,b]\)）關於「函數加法」和「值與連續函數的數乘」構成值域上的一個線性空間。

相關概念

線性相關、線性無關

對線性空間 \((V,+,\cdot,\Bbb{P})\)：

  1. 稱 \(a_1,a_2,\dots,a_n\in V\) 為 \(V\) 的一個 向量組。
  2. 對於 \(k_1,k_2,\dots,k_n\in\Bbb{P}\), 稱 \(\sum_{i=1}^nk_ia_i\) 為向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 的一個 線性組合。
  3. 若向量 \(\beta\in V\) 可以表示為向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 的一個線性組合，則稱 \(\beta\) 能被向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性表出。
  4. 對於 \(k_1,k_2,\dots,k_n\in\Bbb{P}\), 若向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 滿足 \(\sum_{i=1}^nk_ia_i=\theta\iff k_i=0, i=1,2,\dots,n\), 則稱向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性無關，否則稱向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性相關。

規定零向量與任意向量線性相關。

線性表示或線性相關的式子，可以寫成矩陣乘法的形式：

\[ \beta=k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ra_r=(a_1,a_2,\cdots,a_r)\begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_r \end{pmatrix} \]

根據習慣，把向量 \(a\) 按順序並排寫在左邊；把標量 \(k\) 按順序豎着寫在右邊，構成一個「列向量」。

注意：這裏標量構成的「列向量」只是方便的形式記號，不在空間 \(V\) 中，與左邊的向量有着本質的區別。左邊的向量如果恰好是列向量，並排拼起來就可以形式上構成一個「矩陣」，上述乘積恰好是矩陣中常見的「矩陣左乘列向量」的形式。

下文指出，這裏的線性表示也等價於，向量 \(\beta\) 落在矩陣 \((a_1,a_2\cdots,a_r)\) 的像空間裏。

根據下文中的定義，零向量一定會落在像空間裏。如果用線性變換的觀點看，線性相關等價於變換後多個向量變換到零向量，而線性無關等價於只有零向量本身變換到零向量。

性質

對線性空間 \((V,+,\cdot,\Bbb{P})\),

  1. 若向量組的一部分線性相關，則向量組線性相關。若向量組線性無關，則其任意非空部分均線性無關。簡記為：「大無關、小無關」；「小相關、大相關」。
  2. 含 \(\theta\) 的向量組線性相關。
  3. 向量組線性相關當且僅當向量組的某個向量可以由其餘向量線性表出。
  4. 若向量 \(\beta\) 可被向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性表出，則表出方式唯一當且僅當向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性無關。
  5. 若向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性無關，則向量 \(\beta\) 可被向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性表出當且僅當向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n,\beta\) 線性相關。

極大線性無關組、秩

線性相關可以理解為「多餘」，説明向量組內部有的向量可以被其他向量表出，可以刪去。刪完了之後，將剩下極大線性無關組。

對線性空間 \((V,+,\cdot,\Bbb{P})\)：

  1. 對於向量組 \(b_1,b_2,\dots,b_m\), 令 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\subseteq\{b_1,b_2,\dots,b_m\}\), 若有：

    • 向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性無關。
    • \(\forall\beta\in\{b_1,b_2,\dots,b_m\}\setminus\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\), 向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n,\beta\) 線性相關。

    則稱向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 為向量組 \(b_1,b_2,\dots,b_m\) 中的一個 極大線性無關組。類似地，可定義線性空間 \(V\) 的極大線性無關組。

    規定向量組 \(\theta,\theta,\dots,\theta\) 的極大線性無關組為空集，於是全 \(0\) 矩陣對應的向量組沒有極大線性無關組。

    從向量組刪向量的刪法不唯一，因此極大線性無關組也不唯一。習慣上從左到右按順序刪。

    很巧的是，按順序刪，留下的向量，恰好就是「按行看」觀點裏面，高斯消元法剩下的行最簡形矩陣中，元素 \(1\) 所在的列。

    稱向量組 \(b_1,b_2,\dots,b_m\) 的極大線性無關組的大小為向量組的 秩，記作 \(\operatorname{rank}\{b_1,b_2,\dots,b_m\}\), 規定 \(\operatorname{rank}\{\theta,\theta,\dots,\theta\}=0\)。

    於是，向量組的秩的定義與矩陣的秩的定義完全一致。

  2. 若向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 能線性表出向量組 \(b_1,b_2,\dots,b_m\) 中的所有向量，稱向量組 \(b_1,b_2,\dots,b_m\) 能被向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性表出。

  3. 若向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 能被向量組 \(b_1,b_2,\dots,b_m\) 線性表出，且向量組 \(b_1,b_2,\dots,b_m\) 能被向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性表出，則稱兩向量組 等價，記作 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\cong\{b_1,b_2,\dots,b_m\}\)。

    向量組的 等價 就是向量組張成的空間相同。張成空間相同的向量組相互等價，張成空間不同的向量組不等價。

    向量組等價比矩陣等價條件更強，不僅要求秩相同，還要求空間完全一樣。因此，把兩個矩陣 橫向 拼在一起，秩不能發生變化。

    矩陣等價僅要求秩相同，因此矩陣等價表示前一個矩陣或空間，可以通過可逆變換，到達後一個矩陣或空間。

性質

對線性空間 \((V,+,\cdot,\Bbb{P})\),

  1. 設向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 能被線性表出向量組 \(b_1,b_2,\dots,b_m\) 線性表出。

    • 若 \(n>m\), 則向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性相關。
    • 若向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 線性無關，則 \(n\leq m\)。

  2. 等價的線性無關向量組的大小相等。

    向量組的任意極大線性無關組的大小均相等。

  3. 向量組線性無關當且僅當其秩等於其大小。

  4. 若向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 能被線性表出向量組 \(b_1,b_2,\dots,b_m\) 線性表出，則 \(\operatorname{rank}\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\leq\operatorname{rank}\{b_1,b_2,\dots,b_m\}\)。

  5. 等價的向量組的秩相等。

線性包

對於線性空間 \((V,+,\cdot,\Bbb{P})\)，\(\left\{v=\sum_{i=1}^nk_ia_i:a_i\in V,k_i\in\Bbb{P},i=1,2,\dots,n\right\}\) 也構成一個線性空間，稱為由向量組 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 張成 的線性空間（或 線性包），記作 \(\operatorname{span}\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)。

這裏的 \(n\) 個向量 \(a\) 不一定線性無關。

線性子空間

對線性空間 \((V,+,\cdot,\Bbb{P})\), 若代數系統 \((V_1,+,\cdot,\Bbb{P})\) 滿足：

  1. \(\varnothing\ne V_1\)
  2. \(V_1\subseteq V\)
  3. \(V_1\) 關於 \(+,\cdot\) 構成 \(\mathbb{P}\) 上的線性空間

則稱 \(V_1\) 為 \(V\) 的線性子空間，簡稱子空間，記作 \(V_1\leq V\)。

任何空間 \(V\) 都有兩個 平凡子空間：它本身 \(V\) 與零子空間。零子空間只含零向量，不含有線性無關的向量。

若第 2 條中的 \(\subseteq\) 換為 \(\subset\), 則稱 \(V_1\) 為 \(V\) 的線性真子空間，記作 \(V_1<V\)。

不難證明：線性空間 \(V\) 的非空子集 \(V_1\) 是其線性子空間當且僅當線性運算在 \(V_1\) 上封閉，即：

  1. \(\forall u,v\in V_1\),\(u+v\in V_1\)
  2. \(\forall v\in V_1\),\(\forall k\in \Bbb{P}\),\(kv\in V_1\)

交、和與直和、直積

對線性空間 \((V_1,+,\cdot,\Bbb{P})\) 與 \((V_2,+,\cdot,\Bbb{P})\)：

  1. 不難驗證：加法和數乘在 \(V_1\cap V_2\) 上封閉，故可稱 \(V_1\cap V_2\) 為線性空間 \(V_1\) 和 \(V_2\) 的 交。

    類似地，可定義多個線性空間的交 \(\bigcap_{i=1}^m V_i\)。

  2. 若線性空間 \(V\) 滿足 \(V=\{u+v|u\in V_1,v\in V_2\}\), 則稱 \(V\) 為線性空間 \(V_1\) 和 \(V_2\) 的 和，記為 \(V=V_1+V_2\)。

    可以驗證：\(V_1+V_2\) 是包含 \(V_1\cup V_2\) 的最小子空間。

    類似地，可定義多個線性空間的和 \(\sum_{i=1}^m V_i\)。

  3. 設 \(V=V_1+V_2\), 若線性空間 \(V\) 中的任意元素 \(v\), 均只能找到唯一一組向量 \(v_1,v_2\) 滿足 \(v=v_1+v_2\), 則稱 \(V\) 為線性空間 \(V_1\) 和 \(V_2\) 的 直和(direct sum)，記為 \(V_1\oplus V_2\)。

    類似地，可定義多個線性空間的直和 \(\bigoplus_{i=1}^m V_i\)。

  4. \(V_1\) 與 \(V_2\) 的 直積 \(V_1\times V_2\) 定義為二者的笛卡兒積關於如下的加法和數乘構成 \(\Bbb{P}\) 上的線性空間：

    1. \(+:(V_1\times V_2)\times(V_1\times V_2)\mapsto V_1\times V_2; ((u_1,v_1),(u_2,v_2))\to (u_1+u_2,v_1+v_2)\)
    2. \(\cdot:\Bbb{P}\times(V_1\times V_2)\mapsto V_1\times V_2; (k,(u,v))\to (ku,kv)\)

    類似地，可定義多個線性空間的直積 \(\prod_{i=1}^m V_i\)。

例子

對於線性空間 \(V=\Bbb{R}^3\)，設線性空間：

  • \(V_1:=\{(x,0,0)|x\in\Bbb{R}\}\)
  • \(V_2:=\{(x,y,0)|x,y\in\Bbb{R}\}\)
  • \(V_3:=\{(0,y,z)|y,z\in\Bbb{R}\}\)
  • \(V_4:=\{(x,0,z)|x,z\in\Bbb{R}\}\)

則

  1. \(V_1<V_2<V\),\(V_3<V\)
  2. \(V_2=V_1+V_2\)
  3. \(V=V_1\oplus V_3=V_2+V_3\)
  4. \(V_2\oplus V_3=V_4\),\(V_2\oplus V_4=V_3\),\(V_3\oplus V_4=V_2\)
  5. \(V_2+V_3\leq V\)

性質

  1. 令 \(V_1,V_2,V_3\) 是關於 \(\Bbb{P}\) 的線性空間，和集合的交一樣，線性空間的交適用如下法則：
    1. 交換律：\(V_1\cap V_2=V_2\cap V_1\)
    2. 結合律：\(V_1\cap(V_2\cap V_3)=(V_1\cap V_2)\cap V_3\)
  2. 令 \(V_1,V_2,V_3\) 是關於 \(\Bbb{P}\) 的線性空間，類似於集合的並，線性空間的和適用如下法則：
    1. 交換律：\(V_1+V_2=V_2+V_1\)
    2. 結合律：\(V_1+(V_2+V_3)=(V_1+V_2)+V_3\)
  3. 令 \(V_1,V_2,V_3\) 是關於 \(\Bbb{P}\) 的線性空間，線性空間的交與並有如下關係：
    1. \(V_1\cap (V_2+V_3)\supseteq (V_1\cap V_2)+(V_1\cap V_3)\)
    2. \(V_1+(V_2\cap V_3)\subseteq (V_1+V_2)\cap (V_1+V_3)\)
  4. \(\operatorname{span}\{a_1,a_2,\dots,a_n\}+\operatorname{span}\{b_1,b_2,\dots,b_m\}=\operatorname{span}\{a_1,a_2,\dots,a_n,b_1,b_2,\dots,b_m\}\)

  5. 令 \(V_1,V_2\) 是關於 \(\Bbb{P}\) 的線性空間，則下列諸款等價：

    1. \(V_1+V_2=V_1\oplus V_2\)
    2. \(\exists \beta\in V_1+V_2\), 使得拆分為 \(V_1\) 和 \(V_2\) 中的向量和的方式唯一（任意 \(\to\) 存在）
    3. \(\theta\) 拆分為 \(V_1\) 和 \(V_2\) 中向量的和的方式唯一
    4. \(V_1\cap V_2=\{\theta\}\)
    證明

    \(1\implies 2\)：由定義立得。

    \(2 \implies 3\)：

    令 \(\beta=\beta_1+\beta_2\), 其中 \(\beta_1\in V_1, \beta_2\in V_2\), 若 \(\theta=\alpha_1+\alpha_2\),\(\theta\ne\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\), 則 \(\beta=\beta+\theta=(\beta_1+\alpha_1)+(\beta_2+\alpha_2)\)。

    而 \(\beta_1\ne\beta_1+\alpha_1\), 與條件矛盾。

    \(3 \implies 4\)：

    在 \(V_1\) 和 \(V_2\) 中取一非零向量 \(\alpha\), 則 \(\theta=\alpha+(-\alpha)=(-\alpha)+\alpha\), 這與條件矛盾。

    \(4 \implies 1\)：

    若 \(V_1+V_2\) 不是直和，則存在 \(\beta\in V_1+V_2\) 使得 \(\beta=\beta_1+\beta_2=\gamma_1+\gamma_2\), 其中 \(\beta_1,\gamma_1\in V_1,\beta_2,\gamma_2\in V_2\) 且 \(\beta_1,\beta_2,\gamma_1,\gamma_2)\) 互不相同。

    進而 \(\theta\ne\beta_1-\gamma_1=\gamma_2-\beta_2\in V_1\cap V_2\), 與條件矛盾。

同構

設 \(V,V'\) 均為域 \(\Bbb{P}\) 上的線性空間，若存在雙射 \(\sigma:V\mapsto V'\) 且保持加法與數乘，即 \(\forall u,v\in V\),\(\forall k\in\Bbb{P}\) 滿足：

  1. \(\sigma(u+v)=\sigma(u)+\sigma(v)\)
  2. \(\sigma(ku)=k\sigma(u)\)

則稱 \(\sigma\) 是 \(V\) 到 \(V'\) 的 同構映射，此時稱 \(V\) 與 \(V'\) 同構，記為 \(V\cong V'\)。

Note

若 \(\sigma\) 是單射，則可定義 單同態；若 \(\sigma\) 是滿射，則可定義 滿同態。

性質

  1. 域 \(\Bbb{P}\) 上的兩線性空間同構當且僅當其維數相等。

  2. （1 的推論）域 \(\Bbb{P}\) 上的 \(n\) 維線性空間與線性空間 \(\Bbb{P}^n\) 同構。

    Note

    本性質説明我們基本上可以將座標和向量等同看待。

應用

從本節開始主要講述對於線性方程組「按列看」的觀點。

矩陣 \(A\) 本身也是由列向量構成的。把 \(A\) 本身看成了列向量組，而 \(x\) 是未知數係數，思考 \(A\) 當中的這組列向量能不能配上未知數，湊出列向量 \(b\)。此時列向量 \(x\) 是完全未知的。

此時研究的等式 \(Ax=b\) 整理為：

\[ \alpha_1 x_1 +\alpha_2 x_2 +\cdots+\alpha_n x_n=b \]

這時，矩陣乘法中，位於左邊的矩陣 \(A\) 可以看作向量組，即一組列向量。這組列向量作為一組基，張成一個空間，探討列向量 \(b\) 是否落在這個空間裏。

按列看待線性方程組的解

秩是極大線性無關組中向量的個數，代表了「約束」。那麼其餘的向量將賦予解的自由度，即允許在其他方向賦予冗餘的向量。

如果記 \(n\) 是矩陣 \(A\) 的列數，即含有的列向量個數，記 \(r(A)\) 為矩陣 A 的秩，則有自由度 \(S\)：

\[ S=n-r(A) \]

方程組的全體解也構成向量組，自由度 \(S\) 就是 \(Ax=0\) 解向量組的秩，即下文核空間的維數。

方程組的同解

兩個方程組的公共解定義為兩組解的交集。

方程組的 同解 就是方程組的解的集合相等。解的集合相等的方程組同解，解的集合不相等的方程組不同解。

方程組同解也比矩陣等價條件強，不僅要求秩相等，還要求把兩個矩陣 縱向 拼在一起之後，秩仍然不改變。

這裏與向量組等價對比，向量組等價要求矩陣橫向拼接，秩不改變。因此，有如下關係：

矩陣等價，不一定有對應的向量組等價或者方程組同解，但是若有向量組等價或者方程組同解，必然有對應的矩陣等價（秩相同）。

如果矩陣對應的向量組等價，那麼將矩陣轉置後，對應的方程組同解，反之亦然。

矩陣的核空間與像空間

這部分的核空間與像空間是站在線性空間的角度上敍述的。

對於矩陣 \(A\)，令 \(W\) 為方程 \(Ax=0\) 的全體解 \(x\) 構成的集合，則 \(W\) 是一個線性空間，\(W\) 的標量域與 \(A\) 的元素所在的域相同。

稱此時的 \(W\) 為矩陣 \(A\) 的 核空間，記作 \(N(A)\)。

矩陣 \(A\) 的核空間 \(N(A)\) 就是方程 \(Ax=0\) 的 解空間。根據後文基的定義，該方程的 基礎解系 就是核空間的基。

如果矩陣 \(A\) 是可逆矩陣，則 \(A\) 的核空間 \(N(A)\) 只含零向量。

對於矩陣 \(A\)，它的 \(n\) 個列為向量 \(\alpha\)，稱 \(n\) 個列向量 \(\alpha\) 張成的空間為 \(A\) 的 像空間，或者記作 列空間，記作：

\[ R(A)=\operatorname{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\} \]

根據後文維數的定義，像空間的維數等於矩陣 \(A\) 的秩。

由定義，對於像空間 \(R(A)\) 中的每一個元素 \(y\)，均有相應的表示：

\[ y=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{pmatrix} \]

因此像空間 \(R(A)\) 就是對於任意向量 \(x\)，\(Ax\) 的 值域。

同理可以定義 \(A\) 的 行空間，即 \(A\) 的轉置的值域 \(R(A^T)\)。

由於矩陣的行秩等於列秩，行空間的維數也為矩陣的秩，因此轉置改變像空間，而不改變像空間的維數。

在這裏可以與前文建立對應關係：

向量組等價，等價於對應矩陣的像空間 \(R(A)\) 相同。

方程組同解，等價於對應矩陣的行空間 \(R(A^T)\) 相同。

參考資料與註釋

  1. 丘維聲，高等代數（下）。清華大學出版社。
  2. Vector space.Wikipedia, The Free Encyclopedia.
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