二次域

二次有理數

定義

二次有理數 是可以表示為整係數一元二次方程的解的數。

用詞説明

在初等數論書上，「二次有理數」寫為「二次無理數」。這是因為，二次有理數不是有理數，而是無理數。在近世代數書上，寫為「二次有理數」或者「二次代數數」，表明它與有理數擁有相似的性質。

同樣地，還有「二次整數」。二次整數不是整數。「二次有理數」一詞與「二次整數」相對應，與有理數和整數的關係完全一致，有理數是整數的比值。

所有二次有理數均可以表示成以下的形式：

\[ a+b\sqrt{d} \]

其中，\(a\) 與 \(b\) 為有理數，\(d\) 為整數。任意這種形式的數都是二次有理數，兩者為一一對應。

若 \(d\) 為正，則集合中所有數均為實數，稱為實二次整環或者實二次域。若 \(d\) 為負，則集合中除了一般的有理數以外全部不是實數，稱為虛二次整環或虛二次域。

範數

同一個整係數二次方程有兩個根。如果它們不是一般的有理數，那麼它們在形式上只在二次根號前相差一個正負號。

如果兩個二次有理數只在二次根號之前相差正負號，稱它們互為共軛關係。因為一般的有理數在二次根號前面的係數是 \(0\)，因此一般的有理數與它自身為共軛關係。

顯然，在虛二次域中，某數的共軛的概念，與複數共軛的概念一致。但是在實二次域中這兩個概念不一致。

在二次域中，由加減乘除（非 \(0\)）四則運算產生的等式，無法區分共軛關係。也就是説，在等式中將每一個數換成它的共軛數，即將每一個二次根號的符號改變，等式仍然成立。

二次有理數與它的共軛的和稱為跡。某數的跡就是它的有理數部分的 \(2\) 倍，形式簡單，因此很少研究跡。

二次有理數與它的共軛的積稱為範數：

\[ N(a+b\sqrt{d})=a^2-db^2 \]

顯然，在虛二次域中，範數的概念，與複數的模的平方的概念一致。但是在實二次域中這兩個概念不一致。由於 \(d\) 不含平方因子，不可能是平方數，因此只有 \(0\) 的範數是 \(0\)。

範數具有保持乘法和除法（非 \(0\)）的良好性質。

\[ N(a_1+b_1\sqrt{d})N(a_2+b_2\sqrt{d})=N((a_1+b_1\sqrt{d})(a_2+b_2\sqrt{d})) \]

\[ \frac{N(a_1+b_1\sqrt{d})}{N(a_2+b_2\sqrt{d})}=N\left(\frac{a_1+b_1\sqrt{d}}{a_2+b_2\sqrt{d}}\right) \]

一個二次有理數與它的共軛相乘為這個數的範數，因此它的倒數就是它的共軛與範數之比。

\[ a+b\sqrt{d}=\frac{a-b\sqrt{d}}{N(a+b\sqrt{d})} \]

二次整數

首項係數為 \(1\) 的整係數二次多項式 \(x^2+px+q=0\) 的零點是：

\[ \frac{-p±\sqrt{p^2-4q}}{2} \]

稱為「含有根號 \(d\) 的二次整數」，全體記作二次整環 \(Z(\sqrt{d})\)，對於加減乘封閉。不同的 \(d\) 對應於不同的整環。普通的整數環是每一個二次整環的子環。

第一種情況：對於所有的 \(d\)，\(a+b\sqrt{d}\) 一定是二次整數。

第二種情況：當 \(d\) 模 \(4\) 餘 \(1\)，\(a\) 與 \(b\) 是奇數的時候，\(\frac{a+b\sqrt{d}}{2}\) 也是二次整數。因為這種情況也是首係數為 \(1\) 的整係數多項式的零點：

\[ x^2-ax+\frac{a^2-db^2}{4}=0 \]

奇數的一半稱半整數。兩個半整數配上除以 \(4\) 餘 \(1\) 的 \(d\) 開二次根號，也是二次整數。

以上的 \(d\) 全部可正可負。當 \(d\) 為正時就是普通意義的二次根號，當 \(d\) 為負的時候可以理解成對絕對值開根號，並乘以虛數單位 \(\mathrm{i}\)。

二次整數有兩個線性無關的分量，因此二次整數是二維的。

同類二次整數的比是二次有理數。

單位數

如果一個二次整數的倒數還是二次整數，稱這個二次整數為 單位數。二次整數是單位數的充要條件是它的範數為 \(1\) 或 \(-1\)。

單位數對於乘法封閉，構成單位羣。有一個核心位置的定理（證明極難）：

狄利克雷單位定理：數域的單位羣是有限生成阿貝爾羣。

狄利克雷單位定理表明：單位羣維數有限，存在一組基。所有的單位數可以由基的乘積表示。這組基（不含 \(1\) 和 \(-1\)）稱為 基本單位數。

三種整環

有三種整環的概念：

Euclid 整環：滿足 輾轉相除法 的整環。

主理想整環：每一個理想都是主理想的整環。一個重要的性質是，它滿足 Bezout 定理。

唯一分解整環：每個元素的非相伴分解都唯一的整環，滿足 唯一分解定理。

三個概念是層層嵌套包含的關係，唯一分解整環在最外面，歐幾里得整環在最裏面。歐幾里得整環一定是主理想整環，主理想整環一定是唯一分解整環，而反之則不然。因此三個定理也有層層遞推的關係。

雖然唯一分解整環不一定是主理想整環，例如在取模多項式整環中可以找到反例，但是在二次域中，這兩個概念是重合的，即二次域的主理想整環與唯一分解整環範疇重合。因此，二次域只分為輾轉相除和唯一分解兩種特殊情形。

在虛二次域中，只有 \(-1\)、\(-2\)、\(-3\)、\(-7\) 和 \(-11\) 對應的虛二次整環是 Euclid 整環，其餘均不滿足輾轉相除法。

在實二次域中，只有 \(2\)、\(3\)、\(5\)、\(6\)、\(7\)、\(11\)、\(13\)、\(17\)、\(19\)、\(21\)、\(29\)、\(33\)、\(37\)、\(41\)、\(57\) 和 \(73\)，共 \(16\) 個整環是 Euclid 整環。

對於二次域，有很重要的概念叫類數。理想的全體除以理想構成的羣，得到商羣的大小就稱為類數。類數為 \(1\)，説明相應的整環是主理想整環。

Gauss 猜想有無窮個類數為 \(1\) 的實二次域，這個問題至今沒有得到解決——關於實二次域的大多數此類研究進展都很慢。

已經得到解決的是，虛二次域中，加上上面的 \(5\) 個，只有 \(-19\)、\(-43\)、\(-67\) 和 \(-163\) 也是主理想整環。

好在之前的嵌套關係成立。我們只需知道高斯整環（\(-1\)）和艾森斯坦整環（\(-3\)）都是 Euclid 整環，滿足輾轉相除法和唯一分解定理就夠了。

參見 OEIS：

Squarefree values of n for which the quadratic field Q(sqrt(n)) is norm-Euclidean

Q(sqrt(n)) is a unique factorization domain (or simple quadratic field)

相伴與唯一分解

如果一個二次整數乘一個單位數得到另一個二次整數，那麼這兩個二次整數是相伴關係。

唯一分解定理一定要考慮相伴關係才有可能成立。例如，若不考慮相伴關係，由於 \(-1\) 是單位數，整數不滿足唯一分解：

\[ 10=2*5=(-2)*(-5) \]

我們必須在相伴這個等價關係構成的諸多等價類中，為每個類指定一個數作為這個類的代表，即定義 本原數，才可能有唯一分解。

例如在上面的例子中，如果指定 \(2\) 和 \(5\) 為本原數，那麼 \(-2\) 和 \(-5\) 就不是本原數，此時 \(10\) 的分解才變得唯一了。

本原數的規定是人為的，即如果定義 \(-2\) 和 \(5\)、\(2\) 和 \(-5\) 或者 \(-2\) 和 \(-5\) 為本原數，在唯一分解的角度不會引起矛盾。一般會根據實際問題的研究方便定義本原數。例如，如果我們習慣於在正整數範疇研究問題，那麼將正整數定義為本原數即可。

我們看到，事實上只需為所有的素數（在唯一分解前提下與不可約數等價）定義本原數就夠了，其他的非素數的本原數定義必然由素數的本原數定義合成。

狄利克雷特徵

講述虛二次域的相關內容，需要先講講有關特徵的概念。

定義：對於正整數 \(k\)，\(\chi(n)\) 是定義在全體整數集合上不恆為 \(0\) 的數論函數。如果滿足條件：

不互素時取值為 \(0\)：\(\chi(n)=0\)，當 \(\gcd(n,k)>1\)。

週期為 \(k\)：\(\chi(n+k)=\chi(n)\)。

完全積性：對於任意整數 \(m\) 和 \(n\)，有 \(\chi(mn)=\chi(m)\chi(n)\)。

那麼，\(\chi(n)\) 稱為模 \(k\) 的狄利克雷特徵，簡稱模 \(k\) 的特徵，可以記作 \(\chi(n, k)\)。

根據上述定義，可以直接推出：

在 \(1\) 處取值為 \(1\)：\(\chi(1)=1\)。

在 \(-1\) 處取值為 \(\pm 1\)：\(\chi(-1)=\pm 1\)。

互素時取值：當 \(\gcd(n,k)=1\) 時，\((\chi(n))^{\varphi(k)}=\chi(n^{\varphi(k)})=\chi(1)=1\)。

即，當自變量 \(n\) 與模數 \(k\) 互素時，模 \(k\) 的特徵只能取 \(1\) 的 \(\varphi(k)\) 次單位根，值域有限，因此模 \(k\) 的特徵的個數也有限。

顯然，當 \(\gcd(n,k)=1\) 時，\(\chi(n)\) 恆取值為 \(1\) 的數論函數一定是模 \(k\) 的特徵，稱為模 \(k\) 的主特徵，記作 \(\chi^0 (n, k)\)。模 \(1\) 和模 \(2\) 只有主特徵。

一個特徵，如果只取實數值（即取值為 \(\pm 1\)），稱為實特徵。模 \(3\) 和模 \(4\) 的特徵都是實特徵。

能取到非實數值得特徵稱為復特徵。兩個模 \(k\) 的特徵，如果取值在複數域上共軛，稱為共軛特徵。實特徵的共軛特徵為本身。共軛特徵的乘積為主特徵。模 \(k\) 的全體特徵的共軛仍舊為模 \(k\) 的全體特徵。

關於特徵，有如下一些定理：

定理：設 \(\gcd(k_1, k_2)=1\)，那麼一定存在唯一的模 \(k_1\) 的特徵 \(\chi(n, k_1)\)，使得當 \(n\equiv 1\pmod k_2\) 時，

\[ \chi(n, k_1k_2)=\chi(n, k_1) \]

定理：設 \(\gcd(k_1, k_2)=1\)，那麼一定存在唯一的模 \(k_1\) 的特徵 \(\chi(n, k_1)\) 以及模 \(k_2\) 的特徵 \(\chi(n, k_2)\)，使得對於任意整數 \(n\)，有：

\[ \chi(n, k_1k_2)=\chi(n, k_1)\chi(n, k_2) \]

根據這個定理，特徵可以隨着模數的分解而分解，因此只需研究模為素數冪的特徵即可。

對於奇素數的冪 \(p^a\)，存在原根 \(g\)，特徵完全由它在原根 \(g\) 上的取值唯一確定。特徵在原根 \(g\) 上可能的取值有：

\[ \chi(g, p^a)=\mathrm{e}^{\frac{2\pi \mathrm{i}l}{\varphi(p^a)}} \]

因此在模 \(p^a\) 情形下至多有 \(\varphi(p^a)\) 個不同的特徵。根據原根對數的性質，上述特徵在 \(l\) 不同時不同。因此，模 \(p^a\) 的特徵恰好有 \(\phi(p^a)\) 個。

標記順序以作為區分：當 \(\gcd(n,p)=1\) 時，取定模 \(p^a\) 的原根 \(g\)，則有

\[ \chi(g, p^a, l)=\mathrm{e}^{\frac{2\pi \mathrm{i}l}{\varphi(p^a)}} \]

該式唯一確定一個模 \(p^a\) 的特徵。並且，當且僅當 \(l=0\) 時為主特徵，當且僅當 \(l=0\) 或 \(l=\frac{\varphi(p^a)}{2}\) 時為實特徵。

同樣，根據模 \(2^a\) 的性質可以證明，模 \(2^a\) 的特徵恰好有 \(\varphi(2^a)\) 個。綜上就有模 \(k\) 的特徵恰好有 \(\varphi(k)\) 個。

可以證明，模 \(k\) 的特徵的乘法羣，與模 \(k\) 的縮剩餘系的乘法羣同構。

定理：設 \(k\) 是不為 \(1\) 的正整數，\(\gcd(a,k)=1\)，\(a\) 與 \(1\) 模 \(k\) 不同餘，那麼一定存在模 \(k\) 的一個非主特徵 \(\chi\)，使得 \(\chi(a)\) 不為 \(1\)。

類似於本原單位根，也有原特徵的概念。模 \(k\) 的原特徵的取值的最小正週期為 \(k\)，否則為非原特徵。非原特徵的最小正週期整除 \(k\)。

二次剩餘符號 \(\left(\frac{p}{q}\right)\) 是模 \(q\) 的實特徵。

模 \(3\) 的非主特徵只有 \(\left(\frac{n}{3}\right)\)，模 \(4\) 的非主特徵只有 \(\left(\frac{-1}{n}\right)=\left(\frac{-4}{n}\right)\)。

二次域

具有同樣 \(\sqrt{d}\) 的二次有理數的全體，構成一個集合，記作 \(Q(\sqrt{d})\)。

容易證明，集合 \(Q(\sqrt{d})\) 對於加、減、乘、除封閉，即任意取出兩個元素，都可以進行四種運算（保證除數非 \(0\)），並且結果也在集合中。因此，它是一個域，稱為 \(\sqrt{d}\) 的二次域。

\(1\) 和 \(\sqrt{d}\) 在有理數域上線性無關，所以在同一個二次域中，二次有理數的表示法具有唯一性。如果有：

\[ a+b\sqrt{d}=e+f\sqrt{d} \]

那麼有：

\[ a=e \quad b=f \]

共軛定理：在同一個二次域中，如果一個等式僅經過有限次合法四則運算構成，那麼對等式兩邊所有數同時取共軛，等式仍然成立。

證明：取共軛後的新的等式左右兩邊，結果一定仍然在該二次域中。只需證明它們對應的有理係數和無理係數相等。

無論如何，係數都與根號 \(d\) 的整體無關，取共軛只是將根號 \(d\) 換成了負根號 \(d\)，從頭到尾只用到「平方等於 \(d\)」一個性質，因此，對應係數相等。

拓展

二次域 \(Q(\sqrt{d})\) 中的四則運算與一類特殊形式的二階方陣同構：

\[ \begin{pmatrix} a & b\\ db & a \end{pmatrix} \]

比如，乘法的行為模式完全一致：

\[ \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ db_1 & a_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ db_2 & a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1a_2 + db_1b_2 & a_1b_2 + b_1a_2 \\ d(a_1b_2 + b_1a_2) & a_1a_2 + db_1b_2 \end{pmatrix} \]

因此二次有理數的一些性質可以由二階方陣來解釋。比如，範數恰好就是它的行列式：

\[ N(a+b\sqrt{d})= \begin{vmatrix} a & b \\ db & a \end{vmatrix} \]

求倒數也就與伴隨方陣求逆法一致。伴隨方陣恰好就是它的共軛：

\[ \begin{pmatrix} a & b\\ db & a \end{pmatrix}^\ast = \begin{pmatrix} a & -b\\ -db & a \end{pmatrix} \]

這種二階方陣的記法參考了二維座標系的旋轉矩陣：

\[ \begin{pmatrix} \cos\theta &\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta\\ \end{pmatrix} \]

二維座標系的旋轉矩陣的行為模式就像 \(d\) 為 \(-1\) 的特殊數域一樣。

關於實二次域的相關研究，可以參見連分數和佩爾方程的部分。

虛二次域

在虛二次域中，僅當 \(d\) 為 \(-1\) 和 \(-3\) 的時候，存在除了 \(1\) 和 \(-1\) 以外的單位數。當 \(d\) 為負數且不為 \(-1\) 或 \(-3\) 的時候，單位數只有 \(1\) 和 \(-1\)。

當 \(d\) 為 \(-1\) 的時候，單位數有 \(4\) 個：\(1\)，\(-1\)，\(\mathrm{i}\)，\(-\mathrm{i}\)。當 \(d\) 為 \(-3\) 的時候，單位數有 \(6\) 個：\(1\)，\(-1\)，\(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)，\(\frac{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)，\(\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)，\(\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)。

在虛二次域中，僅當 \(d\) 為 \(-1\) 和 \(-3\) 時，存在基本單位數 \(\mathrm{i}\) 和 \(\frac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)。其他情況不存在 \(1\) 和 \(-1\) 以外的其他單位數，也就不存在基本單位數。

因此，兩個整環 \(Z(\mathrm{i})\) 和 \(Z(\sqrt{3}\mathrm{i})\) 是特殊的整環，稱為高斯整環和艾森斯坦整環。它們直觀上分別構成複平面上正方形點陣和正六邊形點陣（正三角形格點），研究虛二次域的時候最經常用到這兩個整環。

虛二次域中對範數的研究可以轉化為 橢圓上整點問題，有名的「圓上整點問題」可以轉化為對 \(d\) 為 \(-1\) 的虛二次域的研究。

Gauss 整數

一般將 \(Q(\mathrm{i})\) 稱為高斯域，相應的 \(Z(\mathrm{i})\) 為高斯整環，高斯整環中的每個元素為高斯整數，即複平面上正方形格點。

高斯域恰好是四次分圓域，因此常用來解決 四次互反律 問題。

高斯整數中，一個數有四個相伴數（含本身）。

高斯整數中的全體素數分為三類：

分歧數：\(1+\mathrm{i}\)，為原來的 \(2\) 的因子。分歧數的共軛是它的相伴數，因此可以指定任一分歧數為本原數代表。

慣性數：所有正整數中 \(4k+3\) 形式的素數，在高斯整數中仍舊為素數。在整環擴張中保持了素數的特性，因此稱為「慣性」。

分裂數：所有正整數中 \(4k+1\) 形式的素數，在高斯整數中可以拆成一對共軛的兩個素數，這兩個素數不相伴。這樣的新素數是分裂的。

當然，這兩個共軛的素數是不同的，即共軛的兩個分裂數是互素的。

對於素數中的分裂數和慣性數，本原數的指定往往有着嚴格的規定，這是為了解決四次剩餘問題的方便。

規定：高斯整數中的本原素數 \(\pi\) 有：

\(\pi\equiv 1 \mod 2(1+\mathrm{i})\)

在 \(2(1+\mathrm{i})\) 的縮系中有 \(4\) 個剩餘類，除了 \(1+\mathrm{i}\) 的每個素數的每個相伴數恰好落入其中一類。

對於 \(1+\mathrm{i}\) 與它的相伴數，一般指定 \(1+\mathrm{i}\) 是本原素數。

勾股方程

高斯整數最簡單的應用是解決勾股方程的解。勾股方程是滿足下面形式的方程：

\[ x^2+y^2=z^2 \]

左邊恰好構成高斯整數的範數，即：

\[ N(x+y\mathrm{i})=z^2 \]

通過模 \(4\) 的分析，我們知道右邊模 \(4\) 必然餘 \(1\)，即如果含模 \(4\) 餘 \(3\) 的慣性數因子，必然含偶數個。

由於分歧數和分裂數的範數都是一般整數中的素數，將左邊唯一分解後必然也只能成對出現（在共軛與相伴的意義下）。即：

\[ {(u+v\mathrm{i})}^2=x+y\mathrm{i} \]

\[ N(u+v\mathrm{i})=z \]

用一般的整數寫出來就是：

\[ u^2-v^2=x \]

\[ 2uv=y \]

\[ u^2+v^2=z \]

勾股方程的幾何意義是單位圓上的圓周角定理，或者半正切的外能代換公式。如下圖：

單位圓周上的點 \(P\) 是有理點，等價於直線 \(AP\) 的斜率是有理數。

還證明相應的四次形式無解。即：

\[ x^4+y^4=z^4 \]

事實上，可以用無窮遞降法證明，

\[ x^4+y^4=z^2 \]

沒有整數解。

圓上整點問題

利用高斯整數的唯一分解，可以解決圓上整點問題。即給定範數為 \(n\) 的條件下，有多少個高斯整數滿足這個範數 \(n\)：

\[ N(x+y\mathrm{i})=n \]

仍舊將左邊和右邊唯一分解。左邊在高斯整數意義下唯一分解，右邊在正整數範疇唯一分解。

\[ N({(1+\mathrm{i})}^a)N(u_1+v_1\mathrm{i})N(u_2+v_2\mathrm{i})=2^apq \]

對於分歧和分裂的素數，範數是原整數中的素數，而 \(4k+3\) 形式慣性的素數，範數是原素數的平方。因此 \(n\) 中 \(4k+3\) 形式的素數必須成對出現，否則無解。

然後利用簡單的計數法就知道，在 \(n\) 中 \(4k+3\) 形式的素數成對出現前提下，整點個數與含多少個 \(2\)（或 \(1+\mathrm{i}\)）無關，只與 \(4k+1\) 形式的素數個數有關，每一個 \(4k+1\) 形式的素數提供 \(2\) 中選擇方法，在計數中擴大 \(2\) 倍。最後由對稱性，整點個數乘 \(4\) 即可。

有解數的公式：

\[ f(n)=4\sum_{d|n} \chi(n,4,1) \]

式中 \(\chi\) 為上文提到的狄利克雷特徵，\(\chi(n,4,1)=\left(\frac{-1}{n}\right)=\left(\frac{-4}{n}\right)\)。

Eisenstein 整數

注：Eisenstein（艾森斯坦）是 Gauss 的得意門生。

一般將 \(Q(\sqrt{3}\mathrm{i})\) 稱為艾森斯坦域，相應的 \(Z(\sqrt{3}\mathrm{i})\) 為艾森斯坦整環，艾森斯坦整環中的每個元素為艾森斯坦整數，即複平面上正六邊形格點。

艾森斯坦域恰好是三次分圓域，也是六次分圓域，因此常用來解決 三次互反律 問題。結合已經解決的二次互反律，就能給出六次剩餘的手動計算。同樣，如果結合高斯域中的四次互反律，就能解決十二次剩餘的手動計算。

艾森斯坦整數中，一個數有六個相伴數（含本身）。

同樣，艾森斯坦整數中的全體素數分為三類：

分歧數：\(\frac{3+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\)，為原來的 \(3\) 的因子。

慣性數：所有正整數中 \(3k+2\) 形式（\(2\) 和 \(6k+5\) 形式）的素數，在艾森斯坦整數中仍舊為素數。

分裂數：所有正整數中 \(3k+1\) 形式（\(6k+1\) 形式）的素數，在高斯整數中可以拆成一對共軛的兩個素數，這兩個素數不相伴。這樣的新素數是分裂的。同樣，這兩個共軛的素數是不同的，即共軛的兩個分裂數是互素的。

對於素數中的分裂數和慣性數，本原數的指定也有着嚴格的規定，這是為了解決三次剩餘問題的方便。

規定：艾森斯坦整數中的本原素數 \(\pi\) 有：

\(\pi\equiv 1 \mod 3\)

在 \(3\) 的縮系中有 \(6\) 個剩餘類，除了 \(\frac{3+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\) 的每個素數的每個相伴數恰好落入其中一類。注意，這與通常的 \(3\) 的剩餘類不同。艾森斯坦整數中 \(3\) 的全部剩餘類有 \(9\) 個，而縮系中有 \(6\) 個。

對於 \(\frac{3+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\) 與它的相伴數，可以指定 \(\frac{3+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}\) 是本原素數。

艾森斯坦整數可以解決下面形式的方程的解：

\(x^2+3y^2=z^2\)

或者：

\(x^2-xy+y^2=z^2\)

或者：

\(x^2+xy+y^2=z^2\)

後兩個在整數範疇是等價的。這裏的求解完全仿照勾股方程即可，不再贅述。

類勾股方程

定理：設 \(z\) 為奇數，則當 \(\gcd(x,y)=1\) 時

\[ x^2+3y^2=z^3 \]

成立，等價於存在 \(u\) 和 \(v\)，\(\gcd(u,3v)=1\)，使得

\[ u^2+3v^2=z \]

\[ x=u^3-9uv^2 \]

\[ y=3u^2v-3v^3 \]

利用艾森斯坦整環的唯一分解性，該定理是顯然的。

利用上述結論與無窮遞降法，同樣能證明三次的某種形式無解，即：

\(x^3+y^3=z^3\)

橢圓上整點問題

利用艾森斯坦整數的唯一分解，可以解決一種橢圓上整點問題。即給定範數為 \(n\) 的條件下，有多少個艾森斯坦整數滿足這個範數 \(n\)。三種形式為：

\[ x^2+3y^2=n \]

或者：

\[ x^2-xy+y^2=n \]

或者：

\[ x^2+xy+y^2=n \]

方法仍舊完全一樣，不再贅述。它們的結論是：

方程

\[ x^2-xy+y^2=n \]

解的個數為

\[ f(n)=6\sum_{d|n} \chi(n,3,1) \]

式中 \(\chi\) 為上文提到的狄利克雷特徵，\(\chi(n,3,1)=\left(\frac{n}{3}\right)\)。

記 \(n=2^l m\)，\(m\) 為正奇數。對於方程

\[ x^2+3y^2=n \]

的結論，當 \(l\) 為奇數時無解，當 \(l=0\) 時，解數為

\[ 12\sum_{d|n} \chi(n,3,1) \]

當 \(l\) 為正偶數時，解數為

\[ 36\sum_{d|n} \chi(n,3,1) \]

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