隨機變量
相關概念
隨機變量
給定概率空間 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)，定義在樣本空間 \(\Omega\) 上的函數 \(X : \Omega \to \mathbb{R}\) 若滿足：對任意 \(t \in \mathbb{R}\) 都有
則稱 \(X\) 為 隨機變量。
示性函數
對於樣本空間 \(\Omega\) 上的事件 \(A\)，定義隨機變量
稱 \(I_A\) 是事件 \(A\) 的 示性函數。
分佈函數
對於隨機變量 \(X\)，稱函數
為隨機變量 \(X\) 的 分佈函數。記作 \(X \sim F(x)\)。
分佈函數具有以下性質：
- 右連續性：\(F(x) = F(x + 0)\)
- 單調性：在 \(\mathbb{R}\) 上單調遞增（非嚴格）
- \(F(-\infty) = 0\),\(F(+\infty) = 1\)
同時我們可以證明，滿足上述要求的函數都是某個隨機變量的分佈函數。因此，分佈函數與隨機變量之間一一對應。
隨機變量的分類
隨機變量按其值域（根據定義，隨機變量是一個函數）是否可數分為 離散型 和 連續型 兩種。
離散型隨機變量
設 \(X\) 為離散型隨機變量，其所有可能的取值為 \(x_1, x_2, \cdots\)，則我們可以用一系列形如 \(P\{ X = x_i \} = p_i\) 的等式來描述 \(X\)。這就是我們在高中課本中學過的 分佈列。
連續型隨機變量
設 \(X\) 為連續型隨機變量，考察 \(P\{ X = x \}\) 往往是無意義的（因為這一概率很可能是 \(0\)）。
為什麼説概率「很可能」是 \(0\)
考慮這樣的隨機變量 \(X\)：它以 \(\frac{1}{2}\) 的概率取 \(0\)，以 \(\frac{1}{2}\) 的概率服從開區間 \((0, 1)\) 上的均勻分佈。顯然 \(X\) 滿足連續型隨機變量的定義。
對任何實數 \(r \in (0, 1)\)，不難得到 \(P\{ X = r \} = 0\)，但同時有 \(P\{ X = 0 \} = \frac{1}{2}\)。
另一方面，設 \(X \sim F(x)\)，則
一個自然的想法是用極限 \(\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{F(l + \Delta x) - F(l)}{\Delta x}\) 來描述 \(X\) 取值為 \(l\) 的可能性。
這個式子就是我們熟知的導數，於是問題轉化為尋找一個非負函數 \(f(x)\) 使得
若這樣的 \(f(x)\) 存在，則稱之為 \(X\) 的 密度函數。
隨機變量的獨立性
前面討論了隨機事件的獨立性。由於隨機變量和隨機事件緊密聯繫，我們還可以類似地給出隨機變量獨立性的定義。
定義
若隨機變量 \(X, Y\) 滿足對任意的 \(x, y \in \mathbb{R}\) 都有
則稱隨機變量 \(X, Y\) 獨立。
Note
有些同學也許會注意到，中學課本中對隨機變量獨立性的定義是用形如 \(P(X = \alpha)\) 的概率定義的，但由於連續性隨機變量取特定值的概率通常是 \(0\)，故在更一般的情形下藉助分佈函數定義才是更加明智的選擇。
性質
若隨機變量 \(X\),\(Y\) 相互獨立，則對於任意函數 \(f, g\)，隨機變量 \(f(X)\) 與 \(g(Y)\) 相互獨立。
Warning
有時候我們會研究相互獨立的隨機變量 \(X\),\(Y\) 的某一函數 \(f(X, Y)\)（如 \(XY^2\)）的分佈。
儘管 \(X\) 與 \(Y\) 是獨立的，但不能想當然地認為對 \(Y\) 的某一取值 \(y\)，\(f(X, y)\) 與 \(f(X, Y)\) 服從同樣的分佈。
本页面最近更新：，更新历史
发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：OI-wiki
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用