三維計算幾何基礎
三維幾何的很多概念與 二維幾何 是相通的，我們可以用與解決二維幾何問題相同的方法來解決三維幾何問題。
基本概念
點，向量，直線這些概念和二維幾何是相似的，這裏不再展開。
平面
我們可以用平面上的一點 \(P_0(x_0,y_0,z_0)\) 和該平面的法向量（即垂直於該平面的向量）\(\boldsymbol{n}\) 來表示一個平面。
因為 \(\boldsymbol{n}\) 垂直於平面，所以 \(\boldsymbol{n}\) 垂直於該平面內的所有直線。換句話説，設 \(\boldsymbol{n}=(A,B,C)\)，則該平面上的點 \(P(x,y,z)\) 都滿足 \(\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{PP_0} = 0\)。
根據向量點積的定義，上式等價於：
整理後得到：
令 \(D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)\)，則上式變成 \(Ax+By+Cz+D=0\)。我們稱這個式子為平面的 一般式。
基本操作
直線、平面之間的夾角
運用空間向量的知識，空間中直線、平面之間的夾角可以很快求出。
對於兩條異面直線 \(a\)，\(b\)，過空間中一點 \(P\)，作 \(a' \parallel a\)，\(b' \parallel b'\)，則 \(a'\) 與 \(b'\) 所成的鋭角或直角被稱為 \(a\) 和 \(b\) 兩條 異面直線所成的角。
對於直線 \(a\) 和平面 \(\alpha\)，若 \(a\) 與 \(\alpha\) 相交於 \(A\)，過 \(a\) 上一點 \(P\) 引平面 \(\alpha\) 的垂線交 \(\alpha\) 於 \(O\)，則 \(a\) 與 \(PO\) 所成的角被稱為 直線與平面所成的角。特別地，若 \(a \parallel \alpha\) 或 \(a \subset \alpha\)，則它們之間的夾角為 \(0^\circ\)。
對於兩個平面 \(\alpha\)，\(\beta\)，它們的夾角被定義為與兩條平面的交線 \(l\) 垂直的兩條直線 \(a,b\)（其中 \(a \subset \alpha\)，\(b \subset \beta\)）所成的角。
兩直線夾角定義與關係充要條件
- 兩直線的方向向量的夾角，叫做兩直線的夾角。
有了這個命題，我們就可以得出以下結論：已知兩條直線 \(l_1, l_2\)，它們的方向向量分別是 \(s_1 (m_1, n_1, p_1)\)，\(s_2 (m_2, n_2, p_2)\)，設 \(\varphi\) 為兩直線夾角，我們可以得到 \(\cos \varphi = \dfrac{\left | m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2 \right |}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}\).
-
\(l_1 \perp l_2 \iff m_1m_2 + n_1n_2 + p_1p_2 = 0\)
-
\(l_1 \parallel l_2 \iff \dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{p_1}{p_2}\).
三維向量與平面的夾角
當直線與平面不垂直時，直線和它在平面上的投影直線的夾角 \(\varphi\)（\(\varphi \in [0, \frac{\pi}{2}]\)）稱為直線與平面的夾角。
設直線向量 \(s(m, n, p)\)，平面法線向量 \(f(a, b, c)\)，那麼以下命題成立：
-
角度的正弦值：\(\sin\varphi = \dfrac{\left | am + bn + cp \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}\)
-
直線與平面平行 \(\iff am+bn+cp = 0\)
-
直線與平面垂直 \(\iff \dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p}\)
點到平面的距離
直線與平面的交點
直接聯立直線方程和平面方程即可。
立體幾何定理
三正弦定理
設二面角 \(M－AB－N\) 的度數為 \(\alpha\)，在平面 \(M\) 上有一條射線 \(AC\)，它和稜 \(AB\) 所成角為 \(\beta\)，和平面 \(N\) 所成的角為 \(\gamma\)，則 \(\sin\gamma = \sin\alpha\cdot\sin\beta\)。
三餘弦定理
設 \(O\) 為平面上一點，過平面外一點 \(B\) 的直線 \(BO\) 在面上的射影為 \(AO\)，\(OC\) 為面上的一條直線，那麼 \(\angle COB，\angle AOC，\angle AOB\) 三角的餘弦關係為：\(\cos\angle BOC=\cos\angle AOB\cdot\cos\angle AOC\)（\(\angle AOC\)，\(\angle AOB\) 只能是鋭角）。
參考資料
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本页面贡献者：shuzhouliu
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